Kommutative Hopf-Algebra/Kooperation/L-Punkte/Operation/Fakt

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring, ${}H$ eine kommutative Hopf-Algebra und ${}G=\operatorname {Spek} {\left(H\right)}$ das zugehörige affine Gruppenschema. Es sei ${}R$ eine weitere kommutative ${}K$-Algebra, auf der eine Kooperation von ${}H$ und damit eine Operation von ${}G$ auf ${}X=\operatorname {Spec} {\left(R\right)}$ vorliege. Dann gelten folgende Aussagen (dabei ist ${}\mu =\triangle ^{*}$, ${}\nu =N^{*}$ und ${}j^{*}$ bezeichnet den Strukturmorphismus ${}X\rightarrow \operatorname {Spek} {\left(K\right)}$).

1. Die folgenden Diagramme von ${}K$-Morphismen kommutieren:

   ${\begin{matrix}G\times _{K}G\times _{K}X&{\stackrel {\mu \times \operatorname {Id} _{X}}{\longrightarrow }}&G\times _{K}X&\\\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\operatorname {Id} _{G}\times \nu \downarrow &&\downarrow \nu \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\G\times _{K}X&{\stackrel {\nu }{\longrightarrow }}&X&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

   und

   ${\begin{matrix}X&{\stackrel {{\left(\epsilon ^{*}j^{*}\right)}\times \operatorname {Id} _{X}}{\longrightarrow }}&G\times _{K}X&\\&\!\!\!\!\!\operatorname {Id} _{X}\searrow &\downarrow \nu \!\!\!\!\!&\\&&X&\!\!\!\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$

2. Für jede kommutative ${}K$-Algebra ${}L$ liegt eine Gruppenoperation von ${}G(L)$ auf ${}X(L)$ vor.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen