Kommutative Ringtheorie/Maximales Ideal/Einführung/Textabschnitt

Definition

Ein Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt maximales Ideal, wenn ${}{\mathfrak {m}}\neq R$ ist und wenn es zwischen ${}{\mathfrak {m}}$ und ${}R$ keine weiteren Ideale gibt.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {m}}$ ein Ideal in ${}R$.

Dann ist ${}{\mathfrak {m}}$ genau dann ein maximales Ideal, wenn der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {m}}$ ein Körper ist.

Beweis

Nach Aufgabe entsprechen die Ideale im Restklassenring ${}R/{\mathfrak {m}}$ eindeutig den Idealen in ${}R$ zwischen ${}{\mathfrak {m}}$ und ${}R$. Nun ist ${}R/{\mathfrak {m}}$ ein Körper genau dann, wenn es genau nur zwei Ideale gibt, und dies ist genau dann der Fall, wenn ${}{\mathfrak {m}}\neq R$ ist und es dazwischen kein weiteres Ideal gibt. Dies bedeutet, dass ${}{\mathfrak {m}}$ maximal ist.

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Lemma

In einem kommutativen Ring ${}R\neq 0$

gibt es maximale Ideale.

Beweis

Wir betrachten die Menge

${}M:={\left\{I\subseteq R\mid 1\not \in I,\,{\text{Ideal in }}R\right\}}\,.$

Diese Menge enthält das Nullideal ${}0$ und ist somit nicht leer. Wir wollen das Lemma von Zorn auf ${}M$ (mit der Inklusion als Ordnungsrelation) anwenden. Dazu sei ${}N\subseteq M$ eine total geordnete Teilmenge. Wir setzen

${}I:=\bigcup _{J\in N}J\,.$

Man zeigt nun, dass ${}I$ ein Ideal ist, das nicht die ${}1$ enthält. Also gehört es zu ${}M$ und es bildet eine obere Schranke für ${}N$. Das Lemma von Zorn liefert dann maximale Elemente in ${}M$, und dies sind maximale Ideale.

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