Kommutativer Ring/Assoziierter graduierter Ring/Modul/Filtration/Einführung/Textabschnitt

Definition

Zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring ${}R$ nennt man die direkte Summe von ${}R/{\mathfrak {a}}$-Moduln

${}\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}R=R/{\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {a}}/{\mathfrak {a}}^{2}\oplus {\mathfrak {a}}^{2}/{\mathfrak {a}}^{3}\oplus \ldots \,$

mit der durch ${}[f]\cdot [g]:=[fg]$ gegebenen Multiplikation den assoziierten graduierten Ring zu ${}{\mathfrak {a}}$.

Diese Verknüpfung ist wohldefiniert. Der assoziierte graduierte Ring ist ${}\mathbb {N}$-graduiert und von der ersten Stufe erzeugt. Diese Konstruktion erlaubt es häufig, Fragen für einen beliebigen kommutativen Ring auf eine graduierte Situation zurückzuführen. Wenn ${}{\mathfrak {a}}$ ein endlich erzeugtes Ideal ist, so ist der graduierte Ring als Algebra endlich erzeugt. Wenn ${}R$ ein noetherscher lokaler Ring ist und man das maximale Ideale ${}{\mathfrak {m}}$ nimmt, so erhält man eine standard-graduierte Algebra mit dem Restekörper ${}R/{\mathfrak {m}}$ als nullte Stufe.

Zu einem ${}R$-Modul ${}M$ und einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ besitzt die Folge der ${}R$-Untermoduln

${}M_{n}={\mathfrak {a}}^{n}M\subseteq M\,$

die Eigenschaften

1. ${}M_{n+1}\subseteq M_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$.
2. Es ist ${}{\mathfrak {a}}M_{n}\subseteq M_{n+1}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$.

Darüber hinaus gilt auch

${}M_{n+1}={\mathfrak {a}}M_{n}\,.$

Definition

Zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring ${}R$ und einem ${}R$-Modul ${}M$ heißt eine Folge ${}M_{n}\subseteq M$ ($n\in \mathbb {N}$) von ${}R$-Untermoduln eine ${}{\mathfrak {a}}$-Filtration, wenn die Eigenschaften

1. ${}M_{n+1}\subseteq M_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$,
2. Es ist ${}{\mathfrak {a}}M_{n}\subseteq M_{n+1}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$,

erfüllt sind.

Definition

Es sei ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal in einem kommutativen Ring ${}R$ und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Eine ${}{\mathfrak {a}}$-Filtration ${}M_{n}\subseteq M$ von ${}R$-Untermoduln heißt stabil, wenn ${}M_{n+1}={\mathfrak {a}}M_{n}$ für ${}n\gg 0$ gilt.

Definition

Es sei ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal in einem kommutativen Ring ${}R$ und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Es sei ${}F$ eine durch die ${}R$-Untermoduln ${}M_{n}\subseteq M$ gegebene ${}{\mathfrak {a}}$-Filtration von ${}M$. Dann nennt man die direkte Summe

${}\operatorname {Gr} _{F}M=M/M_{1}\oplus M_{1}/M_{2}\oplus M_{2}/M_{3}\oplus \ldots \,$

den assoziierten graduierten Modul zur Filtration ${}F$.

Lemma

Es sei ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal in einem kommutativen Ring ${}R$ und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Es sei ${}F$ eine durch die ${}R$-Untermoduln ${}M_{n}\subseteq M$ gegebene ${}{\mathfrak {a}}$-Filtration von ${}M$.

Dann ist der assoziierte graduierte Modul ${}\operatorname {Gr} _{F}M$ in natürlicher Weise ein graduierter Modul über dem assoziierten graduierten Ring ${}\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}R$. Wenn der Modul ${}M$ endlich erzeugt und die Filtration stabil ist, so ist ${}\operatorname {Gr} _{F}M$ ein endlich erzeugter ${}\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}R$-Modul.

Beweis

Wir gehen aus von der Multiplikation

${\mathfrak {a}}^{d}\times M_{n}\longrightarrow M_{d+n},\,(f,v)\longmapsto fv,$

die wegen der Filtrationsbedingung ${}{\mathfrak {a}}^{d}M_{n}\subseteq M_{d+n}$ wohldefiniert ist. Wegen ${}{\mathfrak {a}}^{d+1}M_{n}\subseteq M_{d+n+1}$ und ${}{\mathfrak {a}}^{d}M_{n+1}\subseteq M_{d+n+1}$ induziert dies eine Abbildung

${\mathfrak {a}}^{d}/{\mathfrak {a}}^{d+1}\times M_{n}/M_{n+1}\longrightarrow M_{d+n}/M_{d+n+1},\,([f],[v])\longmapsto [fv].$

Die Gesamtheit dieser Abbildung ergibt eine Abbildung

$\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}R\times \operatorname {Gr} _{F}M\longrightarrow \operatorname {Gr} _{F}M,$

die ${}\operatorname {Gr} _{F}M$ zu einem graduierten ${}\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}R$-Modul macht.

Zum Nachweis der endlichen Erzeugtheit sei ${}M_{n+1}={\mathfrak {a}}M_{n}$ für ${}n\geq n_{0}$. Es ist dann

${}{\mathfrak {a}}/{\mathfrak {a}}^{2}{\left(M_{n}/M_{n+1}\right)}=M_{n+1}/M_{n+2}\,$

für ${}n\geq n_{0}$. Eine Vereinigung von Erzeugern der ${}M_{0}/M_{1},M_{1}/M_{2},\ldots ,M_{n}/M_{n+1}$ ist ein Erzeugendensystem für den graduierten Modul.

$\Box$