Kommutativer Ring/Endlicher Typ/Algebraisch abgeschlossen/Modul/Länge/Fakt/Beweis

Beweis

Wenn ${}M$ als ${}K$-Vektorraum endlichdimensional ist, so hat ${}M$ automatisch endliche Länge, da jeder Untermodul auch ein Untervektorraum ist. Die Rückrichtung zeigen wir durch Induktion über die Länge. Wenn die Länge gleich ${}1$ ist, so ist der Modul einfach und somit nach Fakt von der Form ${}M=R/{\mathfrak {m}}$ mit einem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}$. Nach dem Hilbertschen Nullstellensatz ist ${}K\subseteq R/{\mathfrak {m}}$ eine endliche Körpererweiterung und der Modul ist ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Es sei nun ${}M$ ein ${}R$-Modul endlicher Länge ${}\geq 2$. Dann gibt es eine kurze exakte Sequenz

$0\longrightarrow N\longrightarrow M\longrightarrow M/N\cong R/{\mathfrak {m}}\longrightarrow 0$

mit einem einfachen Restklassenmodul und einem ${}R$-Untermodul ${}N$ kleinerer Länge. Nach Induktionsvoraussetzung bzw. dem Fall einfacher Moduln stehen links und rechts endlichdimensionale ${}K$-Vektorräume. Daher ist auch der Modul ${}M$ als ${}K$-Vektorraum endlichdimensional.

Wenn zusätzlich ${}K$ algebraisch abgeschlossen ist, so zeigt man die Gleichheit von Länge und Dimension entsprechend durch Induktion, wobei der Induktionsanfang wiederum auf dem Hilbertschen Nullstellensatz beruht, der hier besagt, dass sämtliche Restklassenkörper isomorph zu ${}K$ selbst sind.

Zur bewiesenen Aussage