Komplexe Zahlen/Punktiert/Holomorphe Automorphismen/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

$\varphi \colon {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\subseteq {\mathbb {C} }$

biholomorph. Wenn ${}\varphi$ in ${}0$ eine hebbare Singularität besitzt, und ${}{\tilde {\varphi }}$ die Fortsetzung bezeichnet, so ist

${}{\tilde {\varphi }}(0)=0\,.$

Wäre nämlich

${}{\tilde {\varphi }}(0)=Q\neq 0\,,$

so gibt es auch einen Punkt ${}P\neq 0$ mit ${}\varphi (P)=Q$. Für ${}0$ und ${}P$ gibt es disjunkte offene Umgebungen, die nach Fakt auf offene Umgebungen ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$ von ${}Q$ abbilden. Die Punkte im Durchschnitt ${}V_{1}\cap V_{2}$ werden dann doppelt getroffen, was der Injektivität von ${}\varphi$ widerspricht.

Daher ist die Fortsetzung ${}{\tilde {\varphi }}$ ein Automorphismus von ${}{\mathbb {C} }$ nach ${}{\mathbb {C} }$ und es handelt sich nach Fakt um eine affin-lineare Abbildung. Wegen

${}{\tilde {\varphi }}(0)=0\,$

ist der konstante Term gleich ${}0$ und die Abbildung ist linear.

Es sei nun ${}\varphi$ nicht hebbar in ${}0$. Eine wesentliche Singularität kann nicht vorliegen, da in diesem Fall wegen Fakt die Abbildung in keiner punktierten Umgebung injektiv sein kann. Also liegt ein Pol vor. Dann ist ${}{\frac {1}{\varphi }}$ im Nullpunkt mit dem Wert ${}0$ fortsetzbar. Da ${}{\frac {1}{\varphi }}$ ebenfalls ein Automorphismus ist, handelt es sich nach dem zuerst behandelten Fall um eine bijektive lineare Abbildung, sagen wir

${}{\frac {1}{\varphi (z)}}=az\,.$

Dann ist

${}\varphi (z)=a^{-1}z^{-1}\,.$

Zur bewiesenen Aussage