Komplexe Zahlen/Punktiert/Holomorphe Automorphismen/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

biholomorph. Wenn in eine hebbare Singularität besitzt, und die Fortsetzung bezeichnet, so ist

Wäre nämlich

so gibt es auch einen Punkt mit . Für und gibt es disjunkte offene Umgebungen, die nach Fakt auf offene Umgebungen und von abbilden. Die Punkte im Durchschnitt werden dann doppelt getroffen, was der Injektivität von widerspricht.

Daher ist die Fortsetzung ein Automorphismus von nach und es handelt sich nach Fakt um eine affin-lineare Abbildung. Wegen

ist der konstante Term gleich und die Abbildung ist linear.

Es sei nun nicht hebbar in . Eine wesentliche Singularität kann nicht vorliegen, da in diesem Fall wegen Fakt die Abbildung in keiner punktierten Umgebung injektiv sein kann. Also liegt ein Pol vor. Dann ist im Nullpunkt mit dem Wert fortsetzbar. Da ebenfalls ein Automorphismus ist, handelt es sich nach dem zuerst behandelten Fall um eine bijektive lineare Abbildung, sagen wir

Dann ist