Kongruenzuntergruppe/Operation/Quotient/Kompaktifizierung/Bemerkung

Es sei eine Kongruenzuntergruppe, die auf der oberen Halbebene durch Modulsubstitution operiert. Dazu gehört die Quotientenabbildung

bei der durch ineinander überführbare Punkte miteinander identifiziert werden. Bei und finden sich Schreibweisen wie und . Jede -Modulform vom Gewicht faktorisiert durch . Bei ist

und die Projektion stimmt mit der absoluten Invarianten überein. Bei einer Untergruppenbeziehung liegt eine nach Aufgabe surjektive kanonische Abbildung

vor. Wenn ein Normalteiler in ist, so operiert nach Aufgabe die endliche Restklassengruppe auf mit dem Quotienten . Bei und erhält man speziell, dass

auf operiert mit dem Quotienten

Die sind riemannsche Flächen und die Quotientenabbildungen sind holomorph. Man kann sie durch die Hinzunahme von endlich vielen Punkten kompaktifizieren und erhält dadurch kompakte Riemannsche Flächen , die Modulflächen heißen. Da kompakte Riemannschen Flächen den glatten projektiven Kurven über entsprechen, spricht man auch von Modulkurven.