Konvergente Folge/Konstante Funktionenfolge/Gleichmäßig konvergent/Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}M$, die gegen ${}x\in M$ konvergiert. Es sei ${}T$ eine Menge und es seien

$f_{n}\colon T\longrightarrow M,\,t\longmapsto f_{n}(t)=x_{n},$

die zu ${}x_{n}$ gehörenden konstanten Funktionen. Zeige, dass die Funktionenfolge ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gleichmäßig gegen die konstante Funktion

$f\colon T\longrightarrow M,\,t\longmapsto f(t)=x,$

konvergiert.

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