Konvergente Potenzreihe/C/Umkehrabbildung/Fakt/Beweis

Beweis

Zur Notationsvereinfachung sei , wir schreiben

mit einer ebenfalls konvergenten Potenzreihe . Es sei derart, dass

ist.

Es sei nun die formale Potenzreihe aus Fakt mit und . Wir müssen zeigen, dass ebenfalls konvergiert. Dazu setzen wir in Bezug zu den rekursiv definierten formalen Potenzreihen , die durch und

gegeben sind. Wir setzen

und behaupten zunächst, dass die -Norm der durch beschränkt und insbesondere endlich ist. Dies ergibt sich durch Induktion. Für ist es trivialerweise richtig und es ist, unter Verwendung von Fakt und dem Beweis zu Fakt,

Ebenfalls mit Induktion folgt, dass die Koeffizienten bis einschließlich von mit den Koeffizienten von übereinstimmen. Dies ergibt sich einerseits aus der Rekursionsbedingung

die zeigt, dass die Koeffizienten von bis nur von den Koeffizienten von bis und von denen von abhängen, und andererseits daraus, dass für diese Rekursionsgleichung ein Fixpunkt ist, also

gilt, siehe Aufgabe. Mit Aufgabe folgt dann auch , also die Konvergenz von .

Da die formale Umkehrreihe und erfüllt, folgt mit Fakt, dass die zugehörigen Funktionen die Umkehrabbildungen zueinander sind.