Konvergente Potenzreihen/C/Hintereinanderschaltung/Formale Einsetzung/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien und die konvergenten Potenzreihen mit . Die eingesetzte Potenzreihe ist

mit den Koeffizienten

Die Potenzen

sind konvergent nach Fakt, sie beschreiben die -te Potenz von und die Koeffizientenbeschreibung ist

mit

Wegen tragen nur die Tupel bei, in denen jeder Index ist. Daher ist

für . Es gilt

Es sei nun der Konvergenzradius von und der Konvergenzradius von . Es sei derart, dass

ist. Solche gibt es wegen der Stetigkeit von , siehe Aufgabe. Für ist

und daher landen diese unter im Konvergenzbereich von . Für ist also

Dabei gilt unter Verwendung von Fakt  (5)

was nach der Bedingung an endlich ist. Es liegt also eine bestimmte Aufspaltung der Familie , , vor, die konvergiert. Daher ist diese Familie und auch die Familie , , summierbar. Nach dem großen Umordnungssatz gilt daher

Die Hintereinanderschaltung der Funktionen konvergiert also und stimmt mit der formalen Einsetzung überein