Es seien
und
die konvergenten
Potenzreihen
mit
.
Die eingesetzte Potenzreihe ist
mit den Koeffizienten
-
Die Potenzen
-
sind konvergent nach
Fakt,
sie beschreiben die -te Potenz von und die Koeffizientenbeschreibung ist
-
mit
-
Wegen
tragen nur die Tupel bei, in denen jeder Index ist. Daher ist
-
für
.
Es gilt
-
Es sei nun der
Konvergenzradius
von und der Konvergenzradius von . Es sei
derart, dass
-
ist. Solche gibt es wegen der Stetigkeit von , siehe
Aufgabe.
Für
ist
-
und daher landen diese unter im Konvergenzbereich von . Für
ist also
-
Dabei gilt unter Verwendung von
Fakt (5)
was nach der Bedingung an endlich ist. Es liegt also eine bestimmte Aufspaltung der Familie
, ,
vor, die konvergiert. Daher ist diese Familie und auch die Familie
, ,
summierbar.
Nach
dem großen Umordnungssatz
gilt daher
Die Hintereinanderschaltung der Funktionen konvergiert also und stimmt mit der formalen Einsetzung überein