Konvexe Geometrie/Gitterpunktsatz (Minkowski)/Textabschnitt

Der folgende Satz heißt Gitterpunktsatz von Minkowski.

Satz

Es sei ${}\Gamma$ ein Gitter im ${}\mathbb {R} ^{n}$ mit Grundmasche ${}{\mathfrak {M}}$. Es sei ${}T$ eine konvexe, kompakte, zentralsymmetrische Teilmenge in ${}\mathbb {R} ^{n}$, die zusätzlich die Volumenbedingung

${}\operatorname {Vol} (T)\geq 2^{n}\operatorname {Vol} ({\mathfrak {M}})\,$

erfülle. Dann enthält ${}T$ mindestens einen von ${}0$ verschiedenen Gitterpunkt.

Beweis

Wir betrachten das verdoppelte Gitter ${}2\Gamma$. Ist ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis für ${}\Gamma$, so ist ${}2v_{1},\ldots ,2v_{n}$ eine Basis für ${}2\Gamma$. Wir bezeichnen die Grundmasche von ${}2\Gamma$ mit ${}{\mathfrak {N}}$, für ihr Volumen gilt ${}\operatorname {Vol} ({\mathfrak {N}})=2^{n}\operatorname {Vol} ({\mathfrak {M}})$. Zu jeder Masche ${}{\mathfrak {N}}_{Q}=Q+{\mathfrak {N}}$, ${}Q\in 2\Gamma$, betrachten wir den Durchschnitt

${}T_{Q}=T\cap {\mathfrak {N}}_{Q}\,.$

Da ${}T$ kompakt und insbesondere beschränkt ist, gibt es nur endlich viele Maschen derart, dass dieser Durchschnitt nicht leer ist. Es seien diese Maschen (bzw. ihre Ausgangspunkte bzw. ihre Durchschnitte) mit ${}{\mathfrak {N}}_{i}\,({\text{bzw. }}Q_{i}{\text{bzw. }}T_{i})$, ${}i\in I$, bezeichnet (da der Nullpunkt aufgrund der Konvexität und der Zentralsymmetrie zu ${}T$ gehört, umfasst ${}I$ zumindest ${}2^{n}$ Elemente). Die in die Grundmasche ${}{\mathfrak {N}}$ verschobenen Durchschnitte bezeichnen wir mit

${}{\tilde {T}}_{i}:=T_{i}-Q_{i}\,.$

Wir behaupten zunächst, dass die ${}{\tilde {T}}_{i}$ nicht paarweise disjunkt sind. Es sei also angenommen, sie wären paarweise disjunkt. Mindestens eines der ${}T_{i}$ (und damit der ${}{\tilde {T}}_{i}$) hat positives Volumen, sagen wir für ${}i=1$. Wegen der angenommenen Disjunktheit sind insbesondere

$X:={\tilde {T}}_{1}\,\,{\text{ und }}\,\,Y:=\bigcup _{i\in I,i\neq 1}{\tilde {T}}_{i}$

disjunkt zueinander. Wir haben also zwei disjunkte kompakte Teilmengen, und diese besitzen einen Minimalabstand ${}d$ (d.h. zu jedem Punkt aus ${}X$ liegen in einer ${}d$-Umgebung keine Punkte aus ${}Y$, siehe Aufgabe). Sei ${}x\in X$ ein innerer Punkt (den es gibt, da ${}X$ konvex ist und ein positives Volumen besitzt) und sei ${}y\in Y$. Mit ${}S$ sei die Verbindungsstrecke von ${}x$ nach ${}y$ bezeichnet, die ganz in ${}{\mathfrak {N}}$ verläuft. Wir wählen einen Punkt ${}s\in S$, der weder zu ${}X$ noch zu ${}Y$ gehört (solche Punkte gibt es wegen des Minimalabstandes). Da ${}s$ sowohl zu ${}X$ als auch zu ${}Y$ einen Minimalabstand besitzt, gibt es eine ${}\epsilon$-Umgebung ${}B$ von ${}s$, die disjunkt zu ${}X$ und ${}Y$ ist. Wir können ferner annehmen, dass ${}B$ ganz innerhalb von ${}{\mathfrak {N}}$ liegt (wegen der Wahl von ${}x$). Als eine Ballumgebung hat ${}B$ ein positives Volumen, was zu folgendem Widerspruch führt.

${}{\begin{aligned}\operatorname {Vol} ({\mathfrak {N}})&\geq \operatorname {Vol} (X\cup Y\cup B)\\&=\operatorname {Vol} {\left(\bigcup _{i\in I}{\tilde {T}}_{i}\right)}+\operatorname {Vol} (B)\\&>\sum _{i\in I}\operatorname {Vol} ({\tilde {T}}_{i})\\&=\sum _{i\in I}\operatorname {Vol} (T_{i})\\&=\operatorname {Vol} (T)\\&\geq 2^{n}\operatorname {Vol} ({\mathfrak {M}})\\&=\operatorname {Vol} ({\mathfrak {N}}).\end{aligned}}$

Es gibt also Indizes ${}i\neq j$ und einen Punkt ${}z\in {\tilde {T}}_{i}\cap {\tilde {T}}_{j}$ (${}z$ muss selbst nicht zu ${}T$ gehören). Sei

$z_{i}:=z+Q_{i}\in T_{i}\,\,{\text{ und }}\,\,z_{j}:=z+Q_{j}\in T_{j}.$

Wegen ${}Q_{i},Q_{j}\in 2\Gamma$ ist auch ${}Q_{i}-Q_{j}\in 2\Gamma$ und daher

${}0\neq {\frac {Q_{i}-Q_{j}}{2}}\in \Gamma \,.$

Aus ${}z_{j}\in T$ folgt (wegen der Zentralsymmetrie) auch ${}-z_{j}\in T$ und wegen der Konvexität von ${}T$ ergibt sich

${}{\frac {Q_{i}-Q_{j}}{2}}={\frac {1}{2}}(z_{i}-z)-{\frac {1}{2}}(z_{j}-z)={\frac {1}{2}}z_{i}-{\frac {1}{2}}z_{j}\in T\,.$

Wir haben also einen von Nullpunkt verschiedenen Gitterpunkt in ${}T$ gefunden.

$\Box$