Kreisteilungsring/7/Primitive Einheitswurzeln/Untergruppen/Invariantenringe/Aufgabe/Lösung


Die Galoisgruppe zum siebten Kreisteilungsring ist zyklisch der Ordnung und hat daher Untergruppen: In der Beschreibung sind dies die triviale Gruppe , die volle Gruppe, die Gruppe und die Gruppe .

Bei sind die einzelnen Elemente die Nebenklassen, der Invariantenring ist und die Ganzheitsbasis aus Aufgabe sind einfach die Elemente (dies ist auch nach Aufgabe eine Ganzheitsbasis).

Bei sind die Nebenklassen gleich

Die zugehörige Ganzheitsbasis ist somit

Dieser Ring ist gleich , vergleiche Aufgabe.


Bei (die Untergruppe der Quadrate) sind die Nebenklassen gleich

Die Ganzheitsbasis ist

der Invariantenring ist der in Aufgabe (bzw. allgemeiner in Fakt und Fakt) beschriebene quadratische Zahlbereich innerhalb von . Die quadratische Gaußsumme ist die Differenz der beiden Elemente in der angegebenen Ganzheitsbasis.

Bei der vollen Gruppe ist

das einzige Element der Ganzheitsbasis, der Invariantenring ist , und dieses Element ist einfach gleich .