Die Galoisgruppe zum siebten Kreisteilungsring ist zyklisch der Ordnung und hat daher Untergruppen: In der Beschreibung sind dies die triviale Gruppe , die volle Gruppe, die Gruppe und die Gruppe .
Bei
sind die einzelnen Elemente die Nebenklassen, der Invariantenring ist und die Ganzheitsbasis aus
Aufgabe
sind einfach die Elemente
(dies ist auch nach
Aufgabe
eine Ganzheitsbasis).
Bei
sind die Nebenklassen gleich
-
Die zugehörige Ganzheitsbasis ist somit
-
Dieser Ring ist gleich , vergleiche
Aufgabe.
Bei
(die Untergruppe der Quadrate)
sind die Nebenklassen gleich
-
Die Ganzheitsbasis ist
-
der Invariantenring ist der in
Aufgabe
(bzw. allgemeiner in
Fakt
und
Fakt)
beschriebene quadratische Zahlbereich innerhalb von . Die
quadratische Gaußsumme
ist die Differenz der beiden Elemente in der angegebenen Ganzheitsbasis.
Bei der vollen Gruppe
ist
-
das einzige Element der Ganzheitsbasis, der Invariantenring ist
, und dieses Element ist einfach gleich
.