Krulldimension/Einführung/Textabschnitt

Zu einen ${}n$-dimensionalen Vektorraum nennt man eine Kette von Untervektorräumen

${}0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V\,$

eine Fahne in ${}V$. Dabei ist notwendigerweise die Dimension von ${}V_{i}$ gleich ${}i$ und die Kette ist nicht verfeinerbar, d.h. zwischen ${}V_{i}$ und ${}V_{i+1}$ gibt es keinen echten Untervektorraum. Von daher kann man sagen, dass die Dimension eines Vektorraumes durch die maximale Länge von Ketten von Untervektorräumen gegeben ist. Wir werden in analoger Weise die Dimension einer affinen Varietät bzw. ihres Koordinatenring und allgemeiner eines beliebigen noetherschen Ringes einführen.

Bei einer affinen Varietät

${}V=V{\left({\mathfrak {a}}\right)}\subseteq K^{n}\,$

kann man nicht von Untervektorräumen sprechen. Vielmehr sind die abgeschlossenen Untervarietäten (Nullstellengebilde) von ${}V({\mathfrak {a}})$ die strukturgleichen Unterobjekte. Wenn man allerdings die Gerade über einem unendlichen Körper ${}K$ betrachtet, so sind sämtliche endlichen Teilmengen abgeschlossen und daher gibt es beliebig lange Ketten der Form

${}\{P_{1}\}\subset \{P_{1},P_{2}\}\subset \{P_{1},P_{2},P_{3}\}\subset \ldots \subset \{P_{1},P_{2},P_{3},\ldots ,P_{n}\}\subset \ldots \subset K\,.$

Eine sinnvolle Dimensionstheorie lässt sich aufbauen, wenn man statt Ketten von beliebigen abgeschlossenen Teilmengen nur Ketten von irreduziblen abgeschlossenen Teilmengen nimmt. Man betrachtet also Ketten

${}V_{0}=\{P\}\subset V_{1}\subset V_{2}\subset \ldots \subset V_{n}\subseteq V\,$

von irreduziblen abgeschlossenen Teilmengen ${}V_{i}$ in ${}V$. Über einem algebraisch abgeschlossenen Körper entsprechen sich irreduzible Varietäten und Primideale gemäß Fakt. Von daher ist die folgende Definition für einen beliebigen Ring nicht mehr überraschend.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Eine Kette aus Primidealen

${}{\mathfrak {p}}_{0}\subset {\mathfrak {p}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathfrak {p}}_{n}\,$

nennt man Primidealkette der Länge ${}n$ (es wird also die Anzahl der Inklusionen gezählt, nicht die Anzahl der beteiligten Primideale). Die Dimension (oder Krulldimension) von ${}R$ ist das Supremum über alle Längen von Primidealketten. Sie wird mit ${}\operatorname {dim} {\left(R\right)}$ bezeichnet.

Unter einer maximalen Primidealkette verstehen wir eine nicht weiter verfeinerbare Primidealkette, d.h. zu ${}{\mathfrak {p}}_{i}\subset {\mathfrak {p}}_{i+1}$ gibt es kein echtes Primideal dazwischen. Eine solche maximale Primidealkette ist nicht ohne weitere Voraussetzung eine Primidealkette maximaler Länge, an lezteren kann man eben die Krulldimension ablesen. Eine jede maximale Primidealkette startet in einem minimalen Primideal und endet in einem maximalen Ideal. Bei einem Integritätsbereich ist das Nullideal das einzige minimale Primideal. Ein Körper hat die Krulldimension ${}0$ (seine Vektorraumdimension über ${}K$ ist aber ${}1$). Ein Hauptidealbereich, der kein Körper ist, besitzt die Krulldimension ${}1$, siehe Aufgabe. Im Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ über einem Körper ${}K$ hat man direkt die Primidealkette

${}0\subset {\left(X_{1}\right)}\subset {\left(X_{1},X_{2}\right)}\subset \ldots \subset {\left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)}\,,$

sodass die Dimension des Polynomringes zumindest ${}n$ ist. Es ist aber keineswegs klar, warum es nicht noch längere Ketten geben kann.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Unter der Dimension von ${}{\mathfrak {p}}$ versteht man das Supremum der Länge ${}m$ von Primidealketten

${}{\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {p}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathfrak {p}}_{m}\,.$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal.

Dann ist die Dimension von ${}{\mathfrak {p}}$ gleich der Dimension des Restklassenringes ${}R/{\mathfrak {p}}$.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Unter der Höhe von ${}{\mathfrak {p}}$ versteht man das Supremum der Länge ${}n$ von Primidealketten

${}{\mathfrak {p}}_{0}\subset {\mathfrak {p}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathfrak {p}}_{n}={\mathfrak {p}}\,.$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal.

Dann ist die Höhe von ${}{\mathfrak {p}}$ gleich der Dimension der Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {p}}$.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$