(1). Dies ist eine Neuformulierung von
Fakt.
(2). Nach
Fakt
sind sämtliche Automorphismen
diagonalisierbar.
Da die Galoisgruppe
abelsch
ist, folgt
aus Fakt
die simultane Diagonalisierbarkeit aller Automorphismen
().
Das heißt, dass man
mit eindimensionalen
-Untervektorräumen
schreiben kann, die unter jedem auf sich abgebildet werden. Zu jedem und jedem ist dabei
für jedes , das Element beschreibt also den
Eigenwert
von auf . Die Zuordnung
-
ist dabei ein
Charakter.
Es ist
,
da ja die zu gehörende Eigenraumbedingung erfüllt. Wegen
-
ist
und jeder Charakter tritt als ein auf. Also ist
.
Die Stufe zum konstanten Charakter ist . Für
und
und ist
-
also
,
sodass in der Tat eine graduierte Körpererweiterung vorliegt.