Kummererweiterung/Graduierte Körpererweiterung/Äquivalenz/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Dies ist eine Neuformulierung von Fakt.
(2). Nach Fakt sind sämtliche Automorphismen diagonalisierbar. Da die Galoisgruppe abelsch ist, folgt aus Fakt die simultane Diagonalisierbarkeit aller Automorphismen (). Das heißt, dass man mit eindimensionalen -Untervektorräumen schreiben kann, die unter jedem auf sich abgebildet werden. Zu jedem und jedem ist dabei für jedes , das Element beschreibt also den Eigenwert von auf . Die Zuordnung

ist dabei ein Charakter. Es ist , da ja die zu gehörende Eigenraumbedingung erfüllt. Wegen

ist und jeder Charakter tritt als ein auf. Also ist . Die Stufe zum konstanten Charakter ist . Für und und ist

also , sodass in der Tat eine graduierte Körpererweiterung vorliegt.