Kurs:Algebraische Kurven/1/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	${}\sum$
Punkte	3	3	3	5	6	5	3	3	10	10	5	4	3	1	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der affine Raum.
2. Der Produktring zu kommutativen Ringen ${}R_{1},\ldots ,R_{n}$.
3. Ein ${}K$-wertiger Punkt zu einem kommutativen Monoid ${}M$.
4. Die Normalisierung eines Integritätsbereiches ${}R$.
5. Die Einbettungsdimension eines lokalen kommutativen noetherschen Ringes ${}R$.
6. Die Zariski-Topologie auf dem projektiven Raum ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Noethersche Normalisierung für eine Kurve.
2. Die geometrische Version des Hilbertschen Basissatzes.
3. Der Satz über die Multiplizität für ein numerisches Monoid.

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne in

$\mathbb {Z} /(7)[X]/(X^{3}+4X^{2}+X+5)$

das Produkt

$(2x^{2}+5x+3)\cdot (3x^{2}+x+6)$

(${}x$ bezeichne die Restklasse von ${}X$).

Aufgabe * (5 Punkte)

Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise ${}K_{1}$ und ${}K_{2}$, wobei ${}K_{1}$ den Mittelpunkt ${}(3,4)$ und den Radius ${}6$ und ${}K_{2}$ den Mittelpunkt ${}(-8,1)$ und den Radius ${}7$ besitzt.

Aufgabe * (6 (1+1+2+2) Punkte)

Wir betrachten die durch die Gleichung

${}X^{3}+Y^{3}=1\,$

gegebene ebene algebraische Kurve.

1. Bestimme die Anzahl der Punkte dieser Kurve für den Körper ${}\mathbb {Z} /(5)$.
2. Bestimme die Anzahl der Punkte dieser Kurve für den Körper ${}\mathbb {Z} /(7)$.
3. Bestimme die Anzahl der Punkte dieser Kurve für den Körper ${}\mathbb {Z} /(13)$.
4. Bestimme die Anzahl der Punkte dieser Kurve für einen endlichen Körper ${}{\mathbb {F} }_{q}$ mit der Eigenschaft, dass ${}q-1$ und ${}3$ teilerfremd sind.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über die Zerlegung einer affin-algebraischen Menge ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ in irreduzible Komponenten.

Aufgabe * (3 Punkte)

Wir betrachten den Restklassenring

${}R=K[U,V]/(U^{2}-U,V^{2}-V,U-2UV+V)\,$

über einem Körper der Charakteristik ${}\neq 2$. Zeige ${}U=V$ in ${}R$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}M$ ein kommutatives Monoid, ${}\Gamma$ seine Differenzengruppe und ${}K$ ein Körper. Zeige, dass die Spektrumsabbildung

$K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(\Gamma \right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(M\right)}$

injektiv ist.

Aufgabe * (10 Punkte)

Beweise den Satz über die Charakterisierung von ganzen Elementen.

Aufgabe * (10 (1+3+6) Punkte)

1. Skizziere die Nullstellengebilde

   ${}V=V(XY,XZ,YZ)\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}\,$

   und

   ${}W=V(ST(S-T))\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,$

   im reellen Fall.

2. Stifte einen bijektiven Morphismus

   $\varphi \colon V\longrightarrow W.$

3. Zeige, dass der Morphismus ${}\varphi$ außerhalb des Nullpunktes ein Isomorphismus ist (die Charakteristik des Körpers sei ${}\neq 2$).

Aufgabe * (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer integren, endlich erzeugten ${}{\mathbb {C} }$-Algebra ${}R$ und eines multiplikativen Systems ${}S\subseteq R$, ${}0\not \in S$, an derart, dass die Nenneraufnahme ${}R_{S}$ kein Körper ist, aber jedes maximale Ideal aus ${}R$ zum Einheitsideal in ${}R_{S}$ wird.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Lemma von Nakayama.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass sämtliche lokale Ringe der projektiven Geraden ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}$ isomorph zueinander sind. Man gebe eine möglichst einfache Beschreibung dieses Ringes.

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme den Durchschnitt

$V_{+}(X)\cap V_{+}(Y)$

in ${}{\mathbb {P} }_{K}^{2}$.