Kurs:Algebraische Kurven/12/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 5 }
\renewcommand{\asechs}{ 0 }
\renewcommand{\asieben}{ 5 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 0 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 6 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 56 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {algebraisch abgeschlossener} {} Körper.
}{Die
\stichwort {Homogenisierung} {}
eines Polynoms
\mathl{F \in K[X_1 , \ldots , X_n]}{.}
}{Ein
\stichwort {multiplikatives System} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$.
}{Die
\stichwort {Multiplizität} {}
zu einem
\definitionsverweis {numerischen Monoid}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Eine \stichwort {algebraische Funktion} {} auf einer quasiprojektiven Varietät $U$.
}{Die Projektion weg von einem Punkt. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Ein Körper $K$ heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes nichtkonstante Polynom
\mathl{F \in K[X]}{} eine Nullstelle in $K$ besitzt.
}{Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} { \sum_{i = 0}^d F_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {homogenen Zerlegung}{}{}
von $F$ und sei $Z$ eine weitere Variable. Dann nennt man das
\definitionsverweis {homogene Polynom}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \hat{ F }
}
{ =} {\sum_{i = 0}^d F_i Z^{d-i}
}
{ \in} { K[X_1 , \ldots , X_n,Z]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vom Grad $d$ die Homogenisierung von $F$.
}{Die Teilmenge
\mathl{S \subseteq R}{} heißt multiplikatives System, wenn die beiden Eigenschaften
\aufzaehlungzwei {$1 \in S$
} {Wenn
\mathl{f,g \in S}{,} dann ist auch
\mathl{fg \in S}{} }
gelten.
}{Man nennt das minimale positive Element
\mathbed {e \in M} {}
{e \geq 1} {}
{} {} {} {,}
die Multiplizität von $M$.
}{Eine Funktion
\maabbdisp {f} {U} { K
} {}
heißt algebraisch, wenn es für jeden Punkt $P \in U$ eine offene affine Umgebung
\mathl{P \in V \subseteq U}{} derart gibt, dass die auf $V$ eingeschränkte Funktion
\mathl{f{{|}}_V}{} algebraisch im Punkt $P$ ist.
}{Die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {{\mathbb P}^{n}_{K} \setminus \{ (1,0 , \ldots , 0) \}
} {{\mathbb P}^{n-1}_{K}
} {(x_0 ,x_1, \ldots , x_n)
} {(x_1 , \ldots , x_n)
} {,}
heißt die Projektion weg vom Punkt
\mathl{(1,0 , \ldots , 0)}{.}
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über Radikale und maximale Ideale.}{Der Satz über Ringhomomorphismen und Morphismen.}{Das \stichwort {Lemma von Nakayama} {.}}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein Körper und sei $A$ eine $K$-Algebra von endlichem Typ. Dann ist jedes Radikal in $A$ der Durchschnitt von maximalen Idealen.}{Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $R$ und $S$ kommutative $K$-Algebren vom endlichen Typ mit zugehörigen $K$-Spektren
\mathl{X=K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} und
\mathl{Y=K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) }}{.}
Dann ist die durch einen $K$-Algebrahomomorphismus
\maabb {\varphi} {R} {S
} {}
induzierte Spektrumsabbildung
\maabbdisp {\varphi^*} { Y} { X
} {}
ein Morphismus.}{Es sei $(R,{\mathfrak m})$ ein lokaler Ring und sei $V$ ein endlich erzeugter
$R$-Modul. Es sei
\mathl{{\mathfrak m}V=V}{} vorausgesetzt. Dann ist
\mathl{V=0}{.}}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Begründe analytisch, dass es einen reellen Schnittpunkt des Einheitskreises
\mathl{V(x^2+y^2-1)}{} mit der Neilschen Parabel
\mathl{V( y^2-x^3)}{} gibt und bestimme numerisch die reelle $x$-Koordinate eines solchen Schnittpunktes mit einem Fehler $\leq 0,1$.
}
{
Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y^2
}
{ = }{x^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in die Kreisgleichung ein und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^3 +x^2-1
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bei $x=1$ ergibt sich der Wert $1$, bei
\mathl{x= 0{,}5}{} ergibt sich ein negativer Wert. Nach
dem Zwischenwertsatz
muss das Polynom also im Intervall
\mathl{[ 0{,}5 ; 1]}{} eine Nullstelle $x_0$ haben. Da
\mathl{x_0^3}{} positiv ist, gibt es auch eine reelle Quadratwurzel
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y_0
}
{ = }{ \sqrt{x_0^3}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
daraus, und
\mathl{(x_0,y_0)}{} ist ein reeller Schnittpunkt.
Zur numerischen Approximation zu $x_0$ berechnen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (0{,}7)^3+ (0{,}7)^2 -1
}
{ <} { 0{,}49 +0{,}49- 1
}
{ <} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (0{,}8)^3+ (0{,}8)^2 -1
}
{ =} { 0{,}64 \cdot 0{,}8 +0{,}64- 1
}
{ >} { 0{,}48 +0{,}64 -1
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
es gibt also einen Schnittpunkt, dessen $x$-Koordinate im Intervall
\mathl{[0{,}7;0{,}8]}{} liegt.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Beweise den Satz über den Schnitt einer ebenen Kurve mit einer Geraden.
}
{
Eine ebene algebraische Kurve
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ = }{V(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist nach Definition immer die Nullstelle eines Polynoms $F$ in zwei Variablen. Die Gerade $L$ sei durch die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ aX+bY+c
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Ohne Einschränkung sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
dann kann man nach $X$ auflösen und erhält die Geradengleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ \alpha Y + \beta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Ein Schnittpunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ C \cap L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
muss sowohl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(P)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als auch die Geradengleichung erfüllen. Mit der Geradengleichung kann man $X$ in $F$ durch
\mathl{\alpha Y + \beta}{} ersetzen. Dadurch wird $F$ zu einem Polynom in der einen Variablen $Y$, das wir $\tilde{F}$ nennen. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ C \cap L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
äquivalent dazu, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{F}(P)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. D.h. die Schnittmenge wird durch das Polynom $\tilde{F}$ beschrieben. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{F}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die ganze Gerade der Schnitt. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{F}
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es nach
Satz Anhang 1.5 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018))
nur endlich viele Nullstellen.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Zeige, dass in
\mathl{K[X,Y,Z,W]}{} die drei Ideale
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ =} { { \left( Z^2+W^2 -1, \, X - 2Z^2 +1 ,\, Y-2ZW \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak b}
}
{ =} {{ \left( Z^2+W^2 -1 ,\, X^2+Y^2 -1 ,\, (1-X)Z -YW,\, YZ- (1+X) W \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak c}
}
{ =} {{ \left( Z^2+W^2 -1 ,\, (1-X)Z -YW,\, YZ- (1+X) W \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
übereinstimmen.
}
{
Wir zeigen zuerst
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak b}
}
{ \subseteq }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
indem wir zeigen, dass die Erzeuger aus ${\mathfrak b}$ im
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
zu ${\mathfrak a}$ gleich $0$ sind. Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ X^2 + Y^2
}
{ =} { { \left( 2 Z^2 - 1 \right) }^2+ 4Z^2W^2
}
{ =} { { \left( 2 Z^2 - 1 \right) }^2+ 4Z^2 { \left( 1- Z^2 \right) }
}
{ =} { 4Z^4 - 4Z^2 +1 +4Z^2-4 Z^4
}
{ =} {1
}
}
{}
{}{.}
Ferner ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ YW
}
{ =} { 2ZW^2
}
{ =} { 2Z( 1-Z^2)
}
{ =} { Z( 2-2Z^2)
}
{ =} { Z(1- 2Z^2 +1)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { Z(1-X)
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}
und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ W (1+X)
}
{ =} {W ( 2Z^2)
}
{ =} { 2 W Z^2
}
{ =} { Z Y
}
{ } {}
}
{}
{}{.}
Die Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak c}
}
{ \subseteq }{ {\mathfrak b}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist klar, da ein Erzeuger weggelassen wird.
Wir zeigen schließlich die Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ {\mathfrak c}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
indem wir zeigen, dass die Erzeuger aus ${\mathfrak a}$ im Restklassenring zu ${\mathfrak c}$ gleich $0$ sind. In diesem Restklassenring gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ZX
}
{ =} { Z-YW
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{WX
}
{ =} { YZ-W
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{X
}
{ =} { X \cdot 1
}
{ =} { X( Z^2+W^2)
}
{ =} { Z^2-ZYW+YZW-W^2
}
{ =} { Z^2-W^2
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 2Z^2-1
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}
und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ Y
}
{ =} { Y \cdot 1
}
{ =} { Y( Z^2+W^2)
}
{ =} { WXZ + WZ + ZW -ZXW
}
{ =} { 2ZW
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Wir betrachten die Neilsche Parabel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} {V(Y^2-X^3)
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{K}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und den Punkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {(1,1)
}
{ \in} {C
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Finde eine
\definitionsverweis {algebraische Funktion}{}{,}
die auf
\mathl{C \setminus \{P\}}{} definiert ist, aber nicht auf ganz $C$. Tipp: Finde unterschiedliche Faktorzerlegungen von
\mathl{X^3-X^2}{.}
}
{
Das maximale Ideal zum Punkt $P$ wird durch
\mathl{(X-1,Y-1)}{} beschrieben. Im Koordinatenring
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{K[X,Y]/(Y^2-X^3)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ X^2(X-1)
}
{ =} { X^3-X^2
}
{ =} { Y^2-X^2
}
{ =} { (Y-X)(Y+X)
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Somit gilt im Quotientenkörper
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ \defeq} { { \frac{ X^2 }{ Y-X } }
}
{ =} { { \frac{ X+Y }{ X-1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist auf der offenen Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D(Y-X,X-1)
}
{ =} { D( Y-1,X-1 )
}
{ =} { C \setminus \{P\}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine rationale Funktion.
Um zu zeigen, dass diese Funktion nicht auf ganz $C$ definiert ist, arbeiten wir mit der Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb A}^{1}_{K} } { C
} {t} { \left( t^2 , \, t^3 \right)
} {.}
Dabei ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi^{-1} (C \setminus P)
}
{ =} { {\mathbb A}^{1}_{K} \setminus \{1\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Unter dieser Abbildung wird die betrachtete rationale Funktion $f$ zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ t^2+t^3 }{ t^2-1 } }
}
{ =} { { \frac{ t^2 (1+t) }{ (t+1)(t-1) } }
}
{ =} { { \frac{ - t^2 }{ (t-1) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese Funktion kann nicht auf die affine Gerade fortgesetzt werden, also kann auch $f$ nicht auf ganz $C$ algebraisch fortgesetzt werden.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{J
}
{ \defeq} { { \left\{ f \in R \mid \text{Es gibt ein } s \in S \text{ mit } sf \in I \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Ideal in $R$ ist, dass $I$ umfasst.
}
{
Wegen $1\in S$ ist für
\mathl{f \in I}{} direkt $1 \cdot f \in I$, also
\mathl{f \in J}{.} Somit umfasst $J$ das Ideal $I$ und enthält insbesondere die $0$. Es seien
\mathl{f_1,f_2 \in J}{.} Dann gibt es
\mathl{s_1, s_2 \in S}{} mit
\mathl{s_1f_1, s_2f_2 \in I}{.} Da $I$ ein Ideal ist, gehören auch
\mathl{s_1s_2f_1, s_1s_2f_2 \in I}{.} Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ s_1s_2(f_1+f_2)
}
{ =} {s_1s_2f_1+ s_1s_2f_2
}
{ \in} {I
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und wegen
\mathl{s_1s_2 \in S}{} bedeutet dies, dass
\mathl{f_1+f_2 \in J}{} ist. Es sei nun $f \in J$ und
\mathl{r \in R}{.} Es gibt ein
\mathl{s \in S}{} mit
\mathl{sf \in I}{.} Dann ist auch
\mathl{rsf=s rf \in I}{} und somit ist auch
\mathl{rf \in J}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Beweise den Satz über die Stetigkeit der Spektrumsabbildung.
}
{
Die Existenz der Abbildung ist klar, dem $K$-Algebrahomomorphis\-mus
\maabbdisp {P} {S} {K
} {}
wird einfach die Hintereinanderschaltung
\mathdisp {R \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} S \stackrel{P}{\longrightarrow} K} { }
zugeordnet. Das Urbild der offenen Menge
\mathl{D(f) \subseteq K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} ist dabei
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ (\varphi^*)^{-1} (D(f) )
}
{ =} { { \left\{ P \in K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) } \mid \varphi^*(P) \in D(f) \right\} }
}
{ =} { { \left\{ P \in K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) } \mid P \circ \varphi \in D(f) \right\} }
}
{ =} { { \left\{ P \in K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) } \mid ( P \circ \varphi) (f) \neq 0 \right\} }
}
{ =} { { \left\{ P \in K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) } \mid P ( \varphi(f)) \neq 0 \right\} }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {D( \varphi(f))
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Daher sind generell Urbilder von offenen Mengen wieder offen und die Abbildung ist stetig.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mathl{n \in \N}{.} Man Erläutere die Korrespondenz zwischen den folgenden Objekten.
\aufzaehlungvier{Ein $n$-Tupel aus $K$.
}{Ein
\definitionsverweis {Monoidhomomorphismus}{}{}
\maabb {} {\N^n} {K
} {.}
}{Ein
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{}
\maabb {} {K[X_1 , \ldots , X_n] } { K
} {.}
}{Eine
\definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{}
\maabb {} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K \right) } } { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
} {.}
}
}
{Monoidring/N^r/Körperelemente/Einsetzung/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Beweise den Satz über die Integrität von Monoidringen.
}
{
Zunächst ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{ \Gamma(M)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei
\mathl{\Gamma(M)}{} die
\definitionsverweis {Differenzengruppe}{}{}
zu $M$ bezeichnet. Damit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R[M]
}
{ \subseteq }{ R[\Gamma(M)]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Unterring, und es genügt die Aussage für
\mathl{R[\Gamma(M)]}{} zu beweisen. Da $M$ torsionsfrei ist, ist nach
Aufgabe 20.9 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018))
auch
\mathl{\Gamma(M)}{} torsionsfrei. Wir können also annehmen, dass $M$ eine torsionsfreie kommutative Gruppe ist. Es sei nun
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{n \in M} a_nX^n \cdot \sum_{n \in M} b_nX^n
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da hier fast alle Koeffizienten $0$ sind, spielt sich dies in einer endlich erzeugten Untergruppe $U$ der torsionsfreien Gruppe $M$ ab. Nach
dem Hauptsatz über endlich erzeugte torsionsfreie kommutative Gruppen
ist dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \cong }{ \Z^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir können also sogar
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \Z^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
annehmen. Dann ist aber
\mathl{R[M]}{} eine
\definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{}
eines Polynomringes über einem Integritätsbereich und damit integer.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{F_m + \cdots + F_d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {homogene Zerlegung}{}{}
eines Polynoms
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{K[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \leq }{d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (X,Y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Multiplikationsabbildung
\maabbeledisp {} {K[X,Y]} { K[X,Y]
} {G} {FG
} {,}
einen injektiven, wohldefinierten
$K[X,Y]$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {K[X,Y]/ {\mathfrak m}^{n-m} } {K[X,Y]/ {\mathfrak m}^{n}
} {}
festlegt.
}
{
Es ist
\mathl{F \in {\mathfrak m}^n}{.} Zum Nachweis der Wohldefiniertheit sei
\mathl{G \in K[X,Y]}{} mit
\mathl{G \in {\mathfrak m}^{n-m}}{.} Dann ist
\mathl{FG \in {\mathfrak m}^{n-m} \cdot {\mathfrak m}^m = {\mathfrak m}^m}{.} Also gehört
\mathl{{\mathfrak m}^{m-n}}{} zum
\definitionsverweis {Kern}{}{}
der Gesamtabbildung
\mathdisp {K[X,Y] \stackrel{\cdot F}{\longrightarrow} K[X,Y] \longrightarrow K[X,Y]/ {\mathfrak m}^n} { . }
Nach
dem Satz vom induzierten Homomorphismus
gibt es somit einen
$K[X,Y]$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {K[X,Y]/ {\mathfrak m}^{n-m} } {K[X,Y]/ {\mathfrak m}^n
} {.}
Zum Nachweis der Injektivität sei
\mathl{G \in K[X,Y]}{} mit
\mathl{FG = 0}{} in
\mathl{K[X,Y]/ {\mathfrak m}^n}{,} also
\mathl{FG \in {\mathfrak m}^n}{.} Wäre
\mathl{G \notin {\mathfrak m}^{n-m}}{,} so würde in $G$ ein Monom
\mathl{X^iY^j}{} vom Grad
\mathl{i+j< n-m}{}
\zusatzklammer {mit einem von $0$ verschiedenen Koeffizienten} {} {}
vorkommen. Doch dann kämen in
\mathl{FG=F_mG + \cdots + F_dG}{} Monome vom Grad
\mathl{< m}{} vor, und somit wäre
\mathl{FG \notin {\mathfrak m}^n}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L
}
{ =} {V_+(6X-8Y+3Z)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { V_+(2X+9Y-5Z)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in der projektiven Ebene.
}
{
Wir müssen eine nichttriviale Lösung des linearen Gleichungssystems
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 6X- 8Y+3Z
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2X+9Y-5Z
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
finden. Wir eliminieren $X$ und erhalten die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ -35Y+18 Z
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Z
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y
}
{ =} { { \frac{ 18 }{ 35 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{X
}
{ =} { - { \frac{ 9 }{ 2 } } Y +{ \frac{ 5 }{ 2 } } Z
}
{ =} {- { \frac{ 9 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 18 }{ 35 } } +{ \frac{ 5 }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ - 162 + 175 }{ 70 } }
}
{ =} { { \frac{ 13 }{ 70 } }
}
}
{}
{}{.}
Somit ist
\mathl{\left( { \frac{ 13 }{ 70 } } , \, { \frac{ 18 }{ 35 } } , \, 1 \right)}{} ein Schnittpunkt der beiden Geraden.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{
Beweise den Satz über den projektiven Abschluss zu einer affinen Varietät
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V( {\mathfrak a} )
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{
Ein Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{ \left( x_1 , \, \ldots , \, x_n \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in
\mathl{{ {\mathbb A}_{ K }^{ n } }}{} definiert den Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \hat{P}
}
{ = }{ \left( 1 , \, x_1 , \, \ldots , \, x_n \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in
\mathl{{\mathbb P}^{n}_{K}}{.} Für ein Polynom
\mathl{F \in K[X_1 , \ldots , X_n]}{} und $P$ gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(P)
}
{ = }{ \hat{ F } (\hat{P})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für die Homogenisierung $\hat{ F }$. Daher gilt insbesondere
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \hat{ F } (\hat{P})
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle Punkte
\mathl{P \in V({\mathfrak a})}{} und alle homogenen Polynome aus dem homogenisierten Ideal ${\mathfrak b}$. Es ist also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V({\mathfrak a})
}
{ \subseteq }{ V_+({\mathfrak b})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Damit liegt insgesamt das kommutative Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix}
V({\mathfrak a}) & \stackrel{ }{\longrightarrow} & V_+ ({\mathfrak b})
& \\ \downarrow & & \downarrow & \\ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } & \stackrel{ }{\longrightarrow} & {\mathbb P}^{n}_{K}
& \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
vor
\zusatzklammer {wobei alle Abbildungen injektiv sind} {} {.}
Der
\definitionsverweis {projektive Abschluss}{}{} von
\mathl{V({\mathfrak a})}{} wird von einer Menge
\mathl{V_+({\mathfrak c})}{} mit einem homogenen Ideal ${\mathfrak c}$ und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V({\mathfrak a})
}
{ \subseteq }{ V_+({\mathfrak c})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V_+({\mathfrak c})
}
{ \subseteq }{ V_+({\mathfrak b})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beschrieben.
Wir haben die Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V_+({\mathfrak b})
}
{ \subseteq }{ V_+({\mathfrak c})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu zeigen, was aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak c}
}
{ \subseteq }{ \operatorname{rad} \, ({\mathfrak b})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt. Da beides homogene Ideale sind, kann man sich auf
\mathl{F \in {\mathfrak c}}{} homogen beschränken. Wir schreiben
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{X_0^rG
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
sodass $G$ kein Vielfaches von $X_0$ ist. Da $F$ auf
\mathl{V({\mathfrak a})}{} verschwindet und da $X_0$ eingeschränkt auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V({\mathfrak a})
}
{ \subseteq }{ D_+(X_0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
keine Nullstelle besitzt, folgt, dass $G$ auf
\mathl{V({\mathfrak a})}{} verschwindet. Wir können also annehmen, dass $F$ kein Vielfaches von $X_0$ ist. Dann ist die
\definitionsverweis {Dehomogenisierung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{ F }
}
{ =} { F(1,X_1, \ldots, X_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Nullfunktion auf
\mathl{V({\mathfrak a})}{} und besitzt den gleichen Grad wie $F$. Nach dem
Hilbertschen Nullstellensatz
gehört $\tilde{ F }$ zu ${\mathfrak a}$
\zusatzklammer {wir können annehmen, dass ${\mathfrak a}$ ein Radikal ist} {} {.}
Dann gehört aber auch $F$, das sich aus $\tilde{ F }$ durch Homogenisieren ergibt, zur Homogenisierung von ${\mathfrak a}$, also zu ${\mathfrak b}$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5 (1+1+1+1+1)}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {ebene affine Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} { V(X^2Y^4+X^4Y^2+X+X^4+Y+Y^4)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{ \Z/(2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die durch die
\definitionsverweis {Homogenisierung}{}{}
gegebene
\definitionsverweis {projektive Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D
}
{ =} { V_+(X^2Y^4+X^4Y^2+XZ^5+X^4Z^2+YZ^5+Y^4Z^2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\aufzaehlungfuenf{Zeige, dass $C$
\definitionsverweis {glatt}{}{}
ist.
}{Man folgere, dass das Polynom $X^2Y^4+X^4Y^2+X+X^4+Y+Y^4$
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist.
}{Zeige, dass jeder Punkt aus
\mathl{K^2}{} zu $C$ gehört.
}{Zeige, dass jeder $K$-Punkt aus
\mathl{{\mathbb P}^{2}_{K}}{} zu $D$ gehört.
}{Zeige, dass $D$ nicht
\definitionsverweis {glatt}{}{}
ist.
}
}
{
\aufzaehlungfuenf{Die
\definitionsverweis {partielle Ableitung}{}{}
nach $X$ ist $1$, daher ist die Kurve glatt.
}{Dies folgt aus dem ersten Teil und
Lemma 22.12 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)).
}{Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(x,y)
}
{ \in }{K^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
verbleibt
\mathl{y+y^4}{,} was bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { 0, 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
wieder $0$ ergibt. Bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {y
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ergibt sich ebenfalls $0$.
}{Wegen Teil 3 ist nur noch zu zeigen, dass alle $K$-Punkte von $V_+(Z)$ zur Kurve gehören. Mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Z
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ergibt sich aus der homogenen Gleichung die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^2Y^4+X^4Y^2
}
{ =} { X^2Y^2(Y^2+X^2)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die für alle Kombinationen aus $K$ erfüllt ist.
}{Die affine Beschreibung der Kurve $D$ auf
\mathl{D_+(X)}{} ist
\mathdisp {Y^4+Y^2+Z^5+Z^2+YZ^5+Y^4Z^2} { . }
Die partielle Ableitung nach $Y$ ist $Z^5$ und die partielle Ableitung nach $Z$ ist
\mathl{Z^4+YZ^4}{.} Diese verschwinden beide bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Z
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mathl{(1,1,0)}{} ein singulärer Punkt der Kurve.
}
}