Kurs:Algebraische Kurven/12/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	4	4	5	0	5	3	4	3	4	0	4	3	6	5	56

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein algebraisch abgeschlossener Körper.
2. Die Homogenisierung eines Polynoms ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.
3. Ein multiplikatives System ${}S\subseteq R$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
4. Die Multiplizität zu einem numerischen Monoid ${}M\subseteq \mathbb {N}$.
5. Eine algebraische Funktion auf einer quasiprojektiven Varietät ${}U$.
6. Die Projektion weg von einem Punkt.

Lösung

1. Ein Körper ${}K$ heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes nichtkonstante Polynom ${}F\in K[X]$ eine Nullstelle in ${}K$ besitzt.
2. Es sei

   ${}F=\sum _{i=0}^{d}F_{i}\,$

   die homogenen Zerlegung von ${}F$ und sei ${}Z$ eine weitere Variable. Dann nennt man das homogene Polynom

   ${}{\hat {F}}=\sum _{i=0}^{d}F_{i}Z^{d-i}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n},Z]\,$

   vom Grad ${}d$ die Homogenisierung von ${}F$.

3. Die Teilmenge ${}S\subseteq R$ heißt multiplikatives System, wenn die beiden Eigenschaften
   1. ${}1\in S$
   2. Wenn ${}f,g\in S$, dann ist auch ${}fg\in S$

   gelten.

4. Man nennt das minimale positive Element ${}e\in M$, ${}e\geq 1$, die Multiplizität von ${}M$.
5. Eine Funktion

   $f\colon U\longrightarrow K$

   heißt algebraisch, wenn es für jeden Punkt ${}P\in U$ eine offene affine Umgebung ${}P\in V\subseteq U$ derart gibt, dass die auf ${}V$ eingeschränkte Funktion ${}f{|}_{V}$ algebraisch im Punkt ${}P$ ist.

6. Die Abbildung

   ${\mathbb {P} }_{K}^{n}\setminus \{(1,0,\ldots ,0)\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n-1},\,(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (x_{1},\ldots ,x_{n}),$

   heißt die Projektion weg vom Punkt ${}(1,0,\ldots ,0)$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über Radikale und maximale Ideale.
2. Der Satz über Ringhomomorphismen und Morphismen.
3. Das Lemma von Nakayama.

Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}A$ eine ${}K$-Algebra von endlichem Typ. Dann ist jedes Radikal in ${}A$ der Durchschnitt von maximalen Idealen.
2. Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}R$ und ${}S$ kommutative ${}K$-Algebren vom endlichen Typ mit zugehörigen ${}K$-Spektren ${}X=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ und ${}Y=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}$. Dann ist die durch einen ${}K$-Algebrahomomorphismus ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ induzierte Spektrumsabbildung

   $\varphi ^{*}\colon Y\longrightarrow X$

   ein Morphismus.
3. Es sei ${}(R,{\mathfrak {m}})$ ein lokaler Ring und sei ${}V$ ein endlich erzeugter ${}R$-Modul. Es sei ${}{\mathfrak {m}}V=V$ vorausgesetzt. Dann ist ${}V=0$.

Aufgabe (4 Punkte)

Begründe analytisch, dass es einen reellen Schnittpunkt des Einheitskreises ${}V(x^{2}+y^{2}-1)$ mit der Neilschen Parabel ${}V(y^{2}-x^{3})$ gibt und bestimme numerisch die reelle ${}x$-Koordinate eines solchen Schnittpunktes mit einem Fehler ${}\leq 0,1$.

Lösung

Wir setzen ${}y^{2}=x^{3}$ in die Kreisgleichung ein und erhalten

${}x^{3}+x^{2}-1=0\,.$

Bei ${}x=1$ ergibt sich der Wert ${}1$, bei ${}x=0{,}5$ ergibt sich ein negativer Wert. Nach dem Zwischenwertsatz muss das Polynom also im Intervall ${}[0{,}5;1]$ eine Nullstelle ${}x_{0}$ haben. Da ${}x_{0}^{3}$ positiv ist, gibt es auch eine reelle Quadratwurzel ${}y_{0}={\sqrt {x_{0}^{3}}}$ daraus, und ${}(x_{0},y_{0})$ ist ein reeller Schnittpunkt.

Zur numerischen Approximation zu ${}x_{0}$ berechnen wir

${}(0{,}7)^{3}+(0{,}7)^{2}-1<0{,}49+0{,}49-1<0\,$

und

${}(0{,}8)^{3}+(0{,}8)^{2}-1=0{,}64\cdot 0{,}8+0{,}64-1>0{,}48+0{,}64-1=0\,,$

es gibt also einen Schnittpunkt, dessen ${}x$-Koordinate im Intervall ${}[0{,}7;0{,}8]$ liegt.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über den Schnitt einer ebenen Kurve mit einer Geraden.

Lösung

Eine ebene algebraische Kurve ${}C=V(F)$ ist nach Definition immer die Nullstelle eines Polynoms ${}F$ in zwei Variablen. Die Gerade ${}L$ sei durch die Gleichung ${}aX+bY+c=0$ gegeben. Ohne Einschränkung sei ${}a\neq 0$, dann kann man nach ${}X$ auflösen und erhält die Geradengleichung ${}X=\alpha Y+\beta$. Ein Schnittpunkt ${}P\in C\cap L$ muss sowohl ${}F(P)=0$ als auch die Geradengleichung erfüllen. Mit der Geradengleichung kann man ${}X$ in ${}F$ durch ${}\alpha Y+\beta$ ersetzen. Dadurch wird ${}F$ zu einem Polynom in der einen Variablen ${}Y$, das wir ${}{\tilde {F}}$ nennen. Dann ist ${}P\in C\cap L$ äquivalent dazu, dass ${}P\in L$ und ${}{\tilde {F}}(P)=0$ ist. D.h. die Schnittmenge wird durch das Polynom ${}{\tilde {F}}$ beschrieben. Bei ${}{\tilde {F}}=0$ ist die ganze Gerade der Schnitt. Bei ${}{\tilde {F}}\neq 0$ gibt es nach Satz Anhang 1.5 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)) nur endlich viele Nullstellen.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass in ${}K[X,Y,Z,W]$ die drei Ideale

${}{\mathfrak {a}}={\left(Z^{2}+W^{2}-1,\,X-2Z^{2}+1,\,Y-2ZW\right)}\,,$

${}{\mathfrak {b}}={\left(Z^{2}+W^{2}-1,\,X^{2}+Y^{2}-1,\,(1-X)Z-YW,\,YZ-(1+X)W\right)}\,$

und

${}{\mathfrak {c}}={\left(Z^{2}+W^{2}-1,\,(1-X)Z-YW,\,YZ-(1+X)W\right)}\,$

übereinstimmen.

Lösung

Wir zeigen zuerst ${}{\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {a}}$, indem wir zeigen, dass die Erzeuger aus ${}{\mathfrak {b}}$ im Restklassenring zu ${}{\mathfrak {a}}$ gleich ${}0$ sind. Es ist

${}{\begin{aligned}X^{2}+Y^{2}&={\left(2Z^{2}-1\right)}^{2}+4Z^{2}W^{2}\\&={\left(2Z^{2}-1\right)}^{2}+4Z^{2}{\left(1-Z^{2}\right)}\\&=4Z^{4}-4Z^{2}+1+4Z^{2}-4Z^{4}\\&=1.\end{aligned}}$

Ferner ist

${}{\begin{aligned}YW&=2ZW^{2}\\&=2Z(1-Z^{2})\\&=Z(2-2Z^{2})\\&=Z(1-2Z^{2}+1)\\&=Z(1-X)\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}W(1+X)&=W(2Z^{2})\\&=2WZ^{2}\\&=ZY.\end{aligned}}$

Die Inklusion ${}{\mathfrak {c}}\subseteq {\mathfrak {b}}$ ist klar, da ein Erzeuger weggelassen wird.

Wir zeigen schließlich die Inklusion ${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {c}}$, indem wir zeigen, dass die Erzeuger aus ${}{\mathfrak {a}}$ im Restklassenring zu ${}{\mathfrak {c}}$ gleich ${}0$ sind. In diesem Restklassenring gilt

${}ZX=Z-YW\,$

und

${}WX=YZ-W\,.$

Somit ist

${}{\begin{aligned}X&=X\cdot 1\\&=X(Z^{2}+W^{2})\\&=Z^{2}-ZYW+YZW-W^{2}\\&=Z^{2}-W^{2}\\&=2Z^{2}-1\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}Y&=Y\cdot 1\\&=Y(Z^{2}+W^{2})\\&=WXZ+WZ+ZW-ZXW\\&=2ZW.\end{aligned}}$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die Neilsche Parabel

${}C=V(Y^{2}-X^{3})\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,$

und den Punkt

${}P=(1,1)\in C\,.$

Finde eine algebraische Funktion, die auf ${}C\setminus \{P\}$ definiert ist, aber nicht auf ganz ${}C$. Tipp: Finde unterschiedliche Faktorzerlegungen von ${}X^{3}-X^{2}$.

Lösung

Das maximale Ideal zum Punkt ${}P$ wird durch ${}(X-1,Y-1)$ beschrieben. Im Koordinatenring ${}R=K[X,Y]/(Y^{2}-X^{3})$ gilt

${}{\begin{aligned}X^{2}(X-1)&=X^{3}-X^{2}\\&=Y^{2}-X^{2}\\&=(Y-X)(Y+X).\end{aligned}}$

Somit gilt im Quotientenkörper

${}f:={\frac {X^{2}}{Y-X}}={\frac {X+Y}{X-1}}\,.$

Dies ist auf der offenen Menge

${}D(Y-X,X-1)=D(Y-1,X-1)=C\setminus \{P\}\,$

eine rationale Funktion.

Um zu zeigen, dass diese Funktion nicht auf ganz ${}C$ definiert ist, arbeiten wir mit der Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow C,\,t\longmapsto \left(t^{2},\,t^{3}\right).$

Dabei ist

${}\varphi ^{-1}(C\setminus P)={\mathbb {A} }_{K}^{1}\setminus \{1\}\,.$

Unter dieser Abbildung wird die betrachtete rationale Funktion ${}f$ zu

${}{\frac {t^{2}+t^{3}}{t^{2}-1}}={\frac {t^{2}(1+t)}{(t+1)(t-1)}}={\frac {-t^{2}}{(t-1)}}\,.$

Diese Funktion kann nicht auf die affine Gerade fortgesetzt werden, also kann auch ${}f$ nicht auf ganz ${}C$ algebraisch fortgesetzt werden.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System und ${}I\subseteq R$ ein Ideal. Zeige, dass

${}J:={\left\{f\in R\mid {\text{Es gibt ein }}s\in S{\text{ mit }}sf\in I\right\}}\,$

ein Ideal in ${}R$ ist, dass ${}I$ umfasst.

Lösung

Wegen ${}1\in S$ ist für ${}f\in I$ direkt ${}1\cdot f\in I$, also ${}f\in J$. Somit umfasst ${}J$ das Ideal ${}I$ und enthält insbesondere die ${}0$. Es seien ${}f_{1},f_{2}\in J$. Dann gibt es ${}s_{1},s_{2}\in S$ mit ${}s_{1}f_{1},s_{2}f_{2}\in I$. Da ${}I$ ein Ideal ist, gehören auch ${}s_{1}s_{2}f_{1},s_{1}s_{2}f_{2}\in I$. Somit ist

${}s_{1}s_{2}(f_{1}+f_{2})=s_{1}s_{2}f_{1}+s_{1}s_{2}f_{2}\in I\,$

und wegen ${}s_{1}s_{2}\in S$ bedeutet dies, dass ${}f_{1}+f_{2}\in J$ ist. Es sei nun ${}f\in J$ und ${}r\in R$. Es gibt ein ${}s\in S$ mit ${}sf\in I$. Dann ist auch ${}rsf=srf\in I$ und somit ist auch ${}rf\in J$.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Stetigkeit der Spektrumsabbildung.

Lösung

Die Existenz der Abbildung ist klar, dem ${}K$-Algebrahomomorphismus

$P\colon S\longrightarrow K$

wird einfach die Hintereinanderschaltung

$R{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}S{\stackrel {P}{\longrightarrow }}K$

zugeordnet. Das Urbild der offenen Menge ${}D(f)\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ ist dabei

${}{\begin{aligned}(\varphi ^{*})^{-1}(D(f))&={\left\{P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\mid \varphi ^{*}(P)\in D(f)\right\}}\\&={\left\{P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\mid P\circ \varphi \in D(f)\right\}}\\&={\left\{P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\mid (P\circ \varphi )(f)\neq 0\right\}}\\&={\left\{P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\mid P(\varphi (f))\neq 0\right\}}\\&=D(\varphi (f)).\end{aligned}}$

Daher sind generell Urbilder von offenen Mengen wieder offen und die Abbildung ist stetig.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$. Man Erläutere die Korrespondenz zwischen den folgenden Objekten.

1. Ein ${}n$-Tupel aus ${}K$.
2. Ein Monoidhomomorphismus ${}\mathbb {N} ^{n}\rightarrow K$.
3. Ein ${}K$- Algebrahomomorphismus ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\rightarrow K$.
4. Eine Spektrumsabbildung ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K\right)}\rightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.

Lösung Monoidring/N^r/Körperelemente/Einsetzung/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Integrität von Monoidringen.

Lösung

Zunächst ist ${}M\subseteq \Gamma (M)$, wobei ${}\Gamma (M)$ die Differenzengruppe zu ${}M$ bezeichnet. Damit ist ${}R[M]\subseteq R[\Gamma (M)]$ ein Unterring, und es genügt die Aussage für ${}R[\Gamma (M)]$ zu beweisen. Da ${}M$ torsionsfrei ist, ist nach Aufgabe 20.9 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)) auch ${}\Gamma (M)$ torsionsfrei. Wir können also annehmen, dass ${}M$ eine torsionsfreie kommutative Gruppe ist. Es sei nun

${}\sum _{n\in M}a_{n}X^{n}\cdot \sum _{n\in M}b_{n}X^{n}=0\,.$

Da hier fast alle Koeffizienten ${}0$ sind, spielt sich dies in einer endlich erzeugten Untergruppe ${}U$ der torsionsfreien Gruppe ${}M$ ab. Nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte torsionsfreie kommutative Gruppen ist dann ${}U\cong \mathbb {Z} ^{n}$. Wir können also sogar ${}M=\mathbb {Z} ^{n}$ annehmen. Dann ist aber ${}R[M]$ eine Nenneraufnahme eines Polynomringes über einem Integritätsbereich und damit integer.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}F=F_{m}+\cdots +F_{d}$ die homogene Zerlegung eines Polynoms ${}F\in K[X,Y]$ mit ${}m\leq d$ und es sei ${}{\mathfrak {m}}=(X,Y)$. Zeige, dass für jedes ${}n\geq m$ die Multiplikationsabbildung

$K[X,Y]\longrightarrow K[X,Y],\,G\longmapsto FG,$

einen injektiven, wohldefinierten ${}K[X,Y]$- Modulhomomorphismus

$K[X,Y]/{\mathfrak {m}}^{n-m}\longrightarrow K[X,Y]/{\mathfrak {m}}^{n}$

festlegt.

Lösung

Es ist ${}F\in {\mathfrak {m}}^{n}$. Zum Nachweis der Wohldefiniertheit sei ${}G\in K[X,Y]$ mit ${}G\in {\mathfrak {m}}^{n-m}$. Dann ist ${}FG\in {\mathfrak {m}}^{n-m}\cdot {\mathfrak {m}}^{m}={\mathfrak {m}}^{m}$. Also gehört ${}{\mathfrak {m}}^{m-n}$ zum Kern der Gesamtabbildung

$K[X,Y]{\stackrel {\cdot F}{\longrightarrow }}K[X,Y]\longrightarrow K[X,Y]/{\mathfrak {m}}^{n}.$

Nach dem Satz vom induzierten Homomorphismus gibt es somit einen ${}K[X,Y]$- Modulhomomorphismus

$K[X,Y]/{\mathfrak {m}}^{n-m}\longrightarrow K[X,Y]/{\mathfrak {m}}^{n}.$

Zum Nachweis der Injektivität sei ${}G\in K[X,Y]$ mit ${}FG=0$ in ${}K[X,Y]/{\mathfrak {m}}^{n}$, also ${}FG\in {\mathfrak {m}}^{n}$. Wäre ${}G\notin {\mathfrak {m}}^{n-m}$, so würde in ${}G$ ein Monom ${}X^{i}Y^{j}$ vom Grad ${}i+j<n-m$ (mit einem von ${}0$ verschiedenen Koeffizienten) vorkommen. Doch dann kämen in ${}FG=F_{m}G+\cdots +F_{d}G$ Monome vom Grad ${}<m$ vor, und somit wäre ${}FG\notin {\mathfrak {m}}^{n}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden

${}L=V_{+}(6X-8Y+3Z)\,$

und

${}M=V_{+}(2X+9Y-5Z)\,$

in der projektiven Ebene.

Lösung

Wir müssen eine nichttriviale Lösung des linearen Gleichungssystems

${}6X-8Y+3Z=0\,,$

${}2X+9Y-5Z=0\,$

finden. Wir eliminieren ${}X$ und erhalten die Bedingung

${}-35Y+18Z=0\,.$

Mit

${}Z=1\,$

ist

${}Y={\frac {18}{35}}\,$

und

${}{\begin{aligned}X&=-{\frac {9}{2}}Y+{\frac {5}{2}}Z\\&=-{\frac {9}{2}}\cdot {\frac {18}{35}}+{\frac {5}{2}}\\&={\frac {-162+175}{70}}\\&={\frac {13}{70}}.\end{aligned}}$

Somit ist ${}\left({\frac {13}{70}},\,{\frac {18}{35}},\,1\right)$ ein Schnittpunkt der beiden Geraden.

Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Satz über den projektiven Abschluss zu einer affinen Varietät ${}V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.

Lösung

Ein Punkt ${}P=\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ in ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ definiert den Punkt ${}{\hat {P}}=\left(1,\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ in ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$. Für ein Polynom ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und ${}P$ gilt ${}F(P)={\hat {F}}({\hat {P}})$ für die Homogenisierung ${}{\hat {F}}$. Daher gilt insbesondere ${}{\hat {F}}({\hat {P}})=0$ für alle Punkte ${}P\in V({\mathfrak {a}})$ und alle homogenen Polynome aus dem homogenisierten Ideal ${}{\mathfrak {b}}$. Es ist also ${}V({\mathfrak {a}})\subseteq V_{+}({\mathfrak {b}})$. Damit liegt insgesamt das kommutative Diagramm

${\begin{matrix}V({\mathfrak {a}})&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&V_{+}({\mathfrak {b}})&\\\downarrow &&\downarrow &\\{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{\mathbb {P} }_{K}^{n}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

vor (wobei alle Abbildungen injektiv sind). Der projektive Abschluss von ${}V({\mathfrak {a}})$ wird von einer Menge ${}V_{+}({\mathfrak {c}})$ mit einem homogenen Ideal ${}{\mathfrak {c}}$ und mit ${}V({\mathfrak {a}})\subseteq V_{+}({\mathfrak {c}})$ und ${}V_{+}({\mathfrak {c}})\subseteq V_{+}({\mathfrak {b}})$ beschrieben.

Wir haben die Inklusion ${}V_{+}({\mathfrak {b}})\subseteq V_{+}({\mathfrak {c}})$ zu zeigen, was aus ${}{\mathfrak {c}}\subseteq \operatorname {rad} \,({\mathfrak {b}})$ folgt. Da beides homogene Ideale sind, kann man sich auf ${}F\in {\mathfrak {c}}$ homogen beschränken. Wir schreiben ${}F=X_{0}^{r}G$, so dass ${}G$ kein Vielfaches von ${}X_{0}$ ist. Da ${}F$ auf ${}V({\mathfrak {a}})$ verschwindet und da ${}X_{0}$ eingeschränkt auf ${}V({\mathfrak {a}})\subseteq D_{+}(X_{0})$ keine Nullstelle besitzt, folgt, dass ${}G$ auf ${}V({\mathfrak {a}})$ verschwindet. Wir können also annehmen, dass ${}F$ kein Vielfaches von ${}X_{0}$ ist. Dann ist die Dehomogenisierung

${}{\tilde {F}}=F(1,X_{1},\ldots ,X_{n})\,$

die Nullfunktion auf ${}V({\mathfrak {a}})$ und besitzt den gleichen Grad wie ${}F$. Nach dem Hilbertschen Nullstellensatz gehört ${}{\tilde {F}}$ zu ${}{\mathfrak {a}}$ (wir können annehmen, dass ${}{\mathfrak {a}}$ ein Radikal ist). Dann gehört aber auch ${}F$, das sich aus ${}{\tilde {F}}$ durch Homogenisieren ergibt, zur Homogenisierung von ${}{\mathfrak {a}}$, also zu ${}{\mathfrak {b}}$.

Aufgabe (5 (1+1+1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die ebene affine Kurve

${}C=V(X^{2}Y^{4}+X^{4}Y^{2}+X+X^{4}+Y+Y^{4})\,$

über ${}K=\mathbb {Z} /(2)$ und die durch die Homogenisierung gegebene projektive Kurve

${}D=V_{+}(X^{2}Y^{4}+X^{4}Y^{2}+XZ^{5}+X^{4}Z^{2}+YZ^{5}+Y^{4}Z^{2})\,$

1. Zeige, dass ${}C$ glatt ist.
2. Man folgere, dass das Polynom ${}X^{2}Y^{4}+X^{4}Y^{2}+X+X^{4}+Y+Y^{4}$ irreduzibel ist.
3. Zeige, dass jeder Punkt aus ${}K^{2}$ zu ${}C$ gehört.
4. Zeige, dass jeder ${}K$-Punkt aus ${}{\mathbb {P} }_{K}^{2}$ zu ${}D$ gehört.
5. Zeige, dass ${}D$ nicht glatt ist.

Lösung

1. Die partielle Ableitung nach ${}X$ ist ${}1$, daher ist die Kurve glatt.
2. Dies folgt aus dem ersten Teil und Lemma 22.12 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)).
3. Sei ${}(x,y)\in K^{2}$. Bei

   ${}x=0\,$

   verbleibt ${}y+y^{4}$, was bei

   ${}y=0,1\,$

   wieder ${}0$ ergibt. Bei

   ${}x=y=1\,$

   ergibt sich ebenfalls ${}0$.

4. Wegen Teil 3 ist nur noch zu zeigen, dass alle ${}K$-Punkte von ${}V_{+}(Z)$ zur Kurve gehören. Mit

   ${}Z=0\,$

   ergibt sich aus der homogenen Gleichung die Bedingung

   ${}X^{2}Y^{4}+X^{4}Y^{2}=X^{2}Y^{2}(Y^{2}+X^{2})=0\,,$

   die für alle Kombinationen aus ${}K$ erfüllt ist.

5. Die affine Beschreibung der Kurve ${}D$ auf ${}D_{+}(X)$ ist

   $Y^{4}+Y^{2}+Z^{5}+Z^{2}+YZ^{5}+Y^{4}Z^{2}.$

   Die partielle Ableitung nach ${}Y$ ist ${}Z^{5}$ und die partielle Ableitung nach ${}Z$ ist ${}Z^{4}+YZ^{4}$. Diese verschwinden beide bei ${}Z=0$. Somit ist ${}(1,1,0)$ ein singulärer Punkt der Kurve.