Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 2

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme alle Lösungen der Gleichung

${}x^{2}+y^{2}+xy=1\,$

für die Körper ${}K=\mathbb {F} _{2}$, ${}\mathbb {F} _{4}$ und ${}\mathbb {F} _{8}$.

Man kann für die Körper diese Darstellungen verwenden.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme alle simultanen Lösungen der beiden Gleichungen

$x^{3}+y^{2}=2{\text{ und }}2xy=3$

für die Körper ${}K=\mathbb {Z} /(3)$, ${}\mathbb {Z} /(5)$ und ${}\mathbb {Z} /(7)$.

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte Gleichungen der Form

$y^{2}=G(x){\text{ mit }}G(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c$

über ${}\mathbb {R}$. Skizziere die verschiedenen Lösungsmengen für die Koeffizienten ${}a,b,c\in \{1,-1,0\}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die Schnittpunkte der beiden Kurven

$C=V(x^{2}+2y^{2}+3xy+x-2){\text{ und }}L=V(4x+3y-5).$

Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte in ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$ die beiden Ebenen

$E_{1}=V(3x+4y+5z){\text{ und }}E_{2}=V(2x-y+3z).$

Parametrisiere den Schnitt ${}E_{1}\cap E_{2}$.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass zu einem Punkt ${}P=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ das zugehörige Ideal

$(X_{1}-a_{1},X_{2}-a_{2},\ldots ,X_{n}-a_{n})$

maximal ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme Idealerzeuger für ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq \mathbb {R} [X,Y,Z]$, dessen Nullstellenmenge genau die vier Punkte

$(2,3,4),(1,1/5,0),(0,0,1),(-1,-2,{\sqrt {3}})\in {{\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{3}}$

sind.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}S$ das Nullstellengebilde in ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$, das durch die Gleichung

${}x^{2}+y^{2}=z^{2}\,$

gegeben ist. Der Schnitt von ${}S$ mit einer Ebene ${}E$ ist eine Kurve und wird in ${}E$ durch eine Gleichung in zwei (geeigneten) Variablen beschrieben. Finde eine solche Gleichung für die Ebenen

$E_{1}=V(x),\,E_{2}=V(z-1),\,E_{3}=V(x+2y+3z),\,E_{4}=V(3x-2z).$