Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 24/latex




\inputaufgabe
{5}
{

Man gebe ein Beispiel für ein irreduzibles reelles Polynom
\mathl{F \in \R[X,Y]}{} derart, dass beide partiellen Ableitungen übereinstimmen und nicht konstant sind. Zeige, dass dies über ${\mathbb C}$ nicht möglich ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Betrachte die Kurve
\mathl{C=V(X^2-Y^2-Y^3)}{} mit der in Beispiel ***** besprochenen Parametrisierung. Bestimme die singulären Punkte der Kurve zusammen mit den Multiplizitäten und Tangenten. Berechne ebenfalls die Bildpunkte und die Tangenten für die Parameterwerte
\mathl{t=-1,0,1}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Beschreibe ein Beispiel einer glatten Kurve
\mathl{C \subset {\mathbb A}^{2}_{K}}{} mit einer Parametrisierung, deren Differential an mindestens einem Punkt verschwindet.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Betrachte das Achsenkreuz
\mathl{V(xy) \subset {\mathbb A}^{2}_{K}}{} und den zum Nullpunkt gehörigen lokalen Ring $R$ mit maximalem Ideal ${\mathfrak m}$. Beschreibe explizit eine $K$-Basis für die Restklassenringe $R/{\mathfrak m}^n$ und bestimme die Dimensionen davon.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mathl{{\mathfrak a} \subset R}{} ein Ideal in einem kommutativen Ring, das in genau einem maximalen Ideal ${\mathfrak m}$ als einzigem Primoberideal enthalten sei. Zeige, dass dann
\mathl{R/{\mathfrak a} \cong R_{\mathfrak m}/{\mathfrak a} R_{\mathfrak m}}{} ist. Folgere daraus, dass für ein maximales Ideal ${\mathfrak m}$ in einem noetherschen kommutativen Ring die Isomorphie
\mathl{R/{\mathfrak m}^n \cong R_{\mathfrak m}/{\mathfrak m}^n R_{\mathfrak m}}{} für jedes $n$ gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{K[ \![T]\! ]}{} der \definitionsverweis {Potenzreihenring}{}{.} Man gebe die inverse Potenzreihe zu
\mathl{1-T}{} an.

}
{Es geht also um eine Potenzreihe $F$ mit $F \cdot(1-T)=1$.} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $K$ ein Körper,
\mathl{{\mathfrak m}=(T)\subset K[T]}{} das zum Nullpunkt gehörige maximale Ideal mit der \definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
\mathl{R=K[T]_{\mathfrak m}}{.} Definiere einen $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {R} {K[ \![T]\! ] } {} mit
\mathl{\varphi(T)=T}{,} wobei
\mathl{K[ \![T]\! ]}{} den \definitionsverweis {Ring der formalen Potenzreihen}{}{} bezeichnet.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Beschreibe eine formale Potenzreihe über ${\mathbb C}$, die in keiner Umgebung des Nullpunktes konvergiert.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $K$ ein Körper. Vergleiche die beiden Ringe \mathkor {} {(K[X])[ \![Y]\! ]} {und} {(K[ \![Y]\! ])[X]} {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{6}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {noetherscher}{}{} kommutativer Ring. Man zeige, dass
\mathl{R[[T_1, \ldots , T_{n}]]}{} noethersch ist.

}
{} {Hinweis: Lassen Sie sich vom Beweis des Hilbertschen Basissatzes inspirieren!}




\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {lokaler Ring}{}{} mit \definitionsverweis {Restekörper}{}{} $K$. Zeige, dass $R$ und $K$ genau dann die gleiche \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} haben, wenn $R$ einen \definitionsverweis {Körper}{}{} enthält.

}
{} {}