Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 24

Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für ein irreduzibles reelles Polynom ${}F\in \mathbb {R} [X,Y]$ derart, dass beide partiellen Ableitungen übereinstimmen und nicht konstant sind. Zeige, dass dies über ${}{\mathbb {C} }$ nicht möglich ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die Kurve ${}C=V(X^{2}-Y^{2}-Y^{3})$ mit der in Beispiel ***** besprochenen Parametrisierung. Bestimme die singulären Punkte der Kurve zusammen mit den Multiplizitäten und Tangenten. Berechne ebenfalls die Bildpunkte und die Tangenten für die Parameterwerte ${}t=-1,0,1$.

Aufgabe (2 Punkte)

Beschreibe ein Beispiel einer glatten Kurve ${}C\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ mit einer Parametrisierung, deren Differential an mindestens einem Punkt verschwindet.

Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte das Achsenkreuz ${}V(xy)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ und den zum Nullpunkt gehörigen lokalen Ring ${}R$ mit maximalem Ideal ${}{\mathfrak {m}}$. Beschreibe explizit eine ${}K$-Basis für die Restklassenringe ${}R/{\mathfrak {m}}^{n}$ und bestimme die Dimensionen davon.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}{\mathfrak {a}}\subset R$ ein Ideal in einem kommutativen Ring, das in genau einem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ als einzigem Primoberideal enthalten sei. Zeige, dass dann ${}R/{\mathfrak {a}}\cong R_{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {a}}R_{\mathfrak {m}}$ ist. Folgere daraus, dass für ein maximales Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ in einem noetherschen kommutativen Ring die Isomorphie ${}R/{\mathfrak {m}}^{n}\cong R_{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{n}R_{\mathfrak {m}}$ für jedes ${}n$ gilt.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K[\![T]\!]$ der Potenzreihenring. Man gebe die inverse Potenzreihe zu ${}1-T$ an.

Es geht also um eine Potenzreihe ${}F$ mit ${}F\cdot (1-T)=1$.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}{\mathfrak {m}}=(T)\subset K[T]$ das zum Nullpunkt gehörige maximale Ideal mit der Lokalisierung ${}R=K[T]_{\mathfrak {m}}$. Definiere einen ${}K$- Algebrahomomorphismus

$\varphi \colon R\longrightarrow K[\![T]\!]$

mit ${}\varphi (T)=T$, wobei ${}K[\![T]\!]$ den Ring der formalen Potenzreihen bezeichnet.

Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe eine formale Potenzreihe über ${}{\mathbb {C} }$, die in keiner Umgebung des Nullpunktes konvergiert.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper. Vergleiche die beiden Ringe ${}(K[X])[\![Y]\!]$ und ${}(K[\![Y]\!])[X]$.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}R$ ein noetherscher kommutativer Ring. Man zeige, dass ${}R[[T_{1},\ldots ,T_{n}]]$ noethersch ist.

Hinweis: Lassen Sie sich vom Beweis des Hilbertschen Basissatzes inspirieren!

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein lokaler Ring mit Restekörper ${}K$. Zeige, dass ${}R$ und ${}K$ genau dann die gleiche Charakteristik haben, wenn ${}R$ einen Körper enthält.