Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 26/latex
\inputaufgabe
{2}
{
Man gebe für jedes $n$ ein Beispiel von zwei aus der Schule bekannten ebenen algebraischen Kurven, die sich in genau einem Punkt mit Schnittmultiplizität $n$ schneiden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei eine monomiale ebene Kurven
\mathl{C=V(X^d -Y^e)}{} (mit $d,e$ teilerfremd) gegeben. Berechne die Schnittmultiplizität der Kurve mit einer jeden Geraden $G$ durch den Nullpunkt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Berechne die
\definitionsverweis {Schnittmultiplizität}{}{}
der beiden
\definitionsverweis {monomialen Kurven}{}{}
\mathdisp {C=V(X^5 -Y^2) \text{ und } D=V(X^7 -Y^3)} { }
im Nullpunkt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein Körper und seien
\mathl{C=V(F)}{} und
\mathl{D=V(G)}{} ebene algebraische Kurven. Es sei
\mathl{P \in C}{} ein glatter Punkt, sodass der lokale Ring
\mathl{R=(K[X,Y]_{ {\mathfrak m} } )/(F)}{} ein diskreter Bewertungsring ist. Zeige, dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{mult} _{ {P} } ( F, G )
}
{ =} { \operatorname{ord} \, (G)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt, wobei $\operatorname{ord} \,$ die Ordnung im Bewertungsring $R$ bezeichnet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Betrachte die Parabel
\mathl{C=V(Y-X^2)}{} und den Kreis $D$ mit Mittelpunkt $(0,r)$ und Radius $r$. Bestimme die Schnittpunkte von $C$ und $D$ und die jeweiligen Schnittmultiplizitäten.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme für den Restklassenring
\mathl{{\mathbb C}[X,Y]/(XY-1,X^2+Y^2-a)}{}
\zusatzklammer {für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
eine Beschreibung als Produktring von lokalen Ringen. Man gebe dabei die ${\mathbb C}$-Dimensionen der beteiligten Ringe an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mathl{P=(a,b)}{} ein Punkt in der affinen Ebene und $L$ und $L'$ zueinander senkrechte Geraden durch $P$. Es sei
\mathbed {C = V(F)} {}
{F \in K[X,Y]} {}
{} {} {} {,}
eine ebene algebraische Kurve. Beschreibe explizit eine Variablentransformation
\zusatzklammer {einen Koordinatenwechsel} {} {}
derart, dass in den neuen Koordinaten $P$ der Nullpunkt wird und die Geraden zum Achsenkreuz werden. Wie lautet die Kurvengleichung in den neuen Koordinaten?
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Betrachte die durch
\mathl{y = 2x^4+3x^2-x+1}{} gegebene Kurve mit dem Punkt
\mathl{P=(1,5)}{.} Finde eine Koordinatentransformation derart, dass $P$ zum Punkt $(0,0)$ wird und die Tangente an $P$ zur $x$-Achse.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Betrachte die durch
\mathl{y=2x^4+3x^2-x+1}{} gegebene Kurve im Punkt
\mathl{P=(1,5)}{} in den in
Aufgabe *****
gefundenen Koordinaten. Bestimme die Potenzreihe für die Kurve in $P$ entlang der Tangente.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ K[ \![T]\! ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Potenzreihenring}{}{}
Zeige, dass es in $R$ keine Quadratwurzel für $T$ gibt. Zeige ferner, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ \Z/(7)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das Element
\mathl{T+2}{} eine Quadratwurzel in $R$ besitzt, und bestimme die ersten fünf Koeffizienten von einer Quadratwurzel davon.
}
{} {}
Die folgende Aufgabe wurde schon mal gestellt.
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei $K$ ein Körper und $A$ eine endlichdimensionale, \definitionsverweis {reduzierte}{}{} $K$-Algebra. Zeige, dass dann $A$ ein endliches direktes Produkt von endlichen Körpererweiterungen von $K$ ist.
}
{} {}
Die folgende Aufgabe ist vermutlich schwieriger.
\inputaufgabe
{}
{
Es seien zwei verschiedene monomiale ebene Kurven
\mathl{C=V(X^d -Y^e)}{} und
\mathl{D=V(X^r -Y^s)}{} gegeben (mit $d,e$ und $r,s$ teilerfremd). Berechne die Schnittmultiplizität der beiden Kurven im Nullpunkt.
}
{} {}