Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 26

Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe für jedes ${}n$ ein Beispiel von zwei aus der Schule bekannten ebenen algebraischen Kurven, die sich in genau einem Punkt mit Schnittmultiplizität ${}n$ schneiden.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine monomiale ebene Kurven ${}C=V(X^{d}-Y^{e})$ (mit ${}d,e$ teilerfremd) gegeben. Berechne die Schnittmultiplizität der Kurve mit einer jeden Geraden ${}G$ durch den Nullpunkt.

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne die Schnittmultiplizität der beiden monomialen Kurven

$C=V(X^{5}-Y^{2}){\text{ und }}D=V(X^{7}-Y^{3})$

im Nullpunkt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}C=V(F)$ und ${}D=V(G)$ ebene algebraische Kurven. Es sei ${}P\in C$ ein glatter Punkt, sodass der lokale Ring ${}R=(K[X,Y]_{\mathfrak {m}})/(F)$ ein diskreter Bewertungsring ist. Zeige, dass die Beziehung

${}\operatorname {mult} _{P}(F,G)=\operatorname {ord} \,(G)\,$

gilt, wobei ${}\operatorname {ord} \,$ die Ordnung im Bewertungsring ${}R$ bezeichnet.

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Parabel ${}C=V(Y-X^{2})$ und den Kreis ${}D$ mit Mittelpunkt ${}(0,r)$ und Radius ${}r$. Bestimme die Schnittpunkte von ${}C$ und ${}D$ und die jeweiligen Schnittmultiplizitäten.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für den Restklassenring ${}{\mathbb {C} }[X,Y]/(XY-1,X^{2}+Y^{2}-a)$ (für jedes ${}a\in {\mathbb {C} }$) eine Beschreibung als Produktring von lokalen Ringen. Man gebe dabei die ${}{\mathbb {C} }$-Dimensionen der beteiligten Ringe an.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}P=(a,b)$ ein Punkt in der affinen Ebene und ${}L$ und ${}L'$ zueinander senkrechte Geraden durch ${}P$. Es sei ${}C=V(F)$, ${}F\in K[X,Y]$, eine ebene algebraische Kurve. Beschreibe explizit eine Variablentransformation (einen Koordinatenwechsel) derart, dass in den neuen Koordinaten ${}P$ der Nullpunkt wird und die Geraden zum Achsenkreuz werden. Wie lautet die Kurvengleichung in den neuen Koordinaten?

Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte die durch ${}y=2x^{4}+3x^{2}-x+1$ gegebene Kurve mit dem Punkt ${}P=(1,5)$. Finde eine Koordinatentransformation derart, dass ${}P$ zum Punkt ${}(0,0)$ wird und die Tangente an ${}P$ zur ${}x$-Achse.

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die durch ${}y=2x^{4}+3x^{2}-x+1$ gegebene Kurve im Punkt ${}P=(1,5)$ in den in Aufgabe ***** gefundenen Koordinaten. Bestimme die Potenzreihe für die Kurve in ${}P$ entlang der Tangente.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R=K[\![T]\!]$ der Potenzreihenring Zeige, dass es in ${}R$ keine Quadratwurzel für ${}T$ gibt. Zeige ferner, dass für ${}K=\mathbb {Z} /(7)$ das Element ${}T+2$ eine Quadratwurzel in ${}R$ besitzt, und bestimme die ersten fünf Koeffizienten von einer Quadratwurzel davon.

Die folgende Aufgabe wurde schon mal gestellt.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}A$ eine endlichdimensionale, reduzierte ${}K$-Algebra. Zeige, dass dann ${}A$ ein endliches direktes Produkt von endlichen Körpererweiterungen von ${}K$ ist.

Die folgende Aufgabe ist vermutlich schwieriger.

Aufgabe (8 Punkte)

Es seien zwei verschiedene monomiale ebene Kurven ${}C=V(X^{d}-Y^{e})$ und ${}D=V(X^{r}-Y^{s})$ gegeben (mit ${}d,e$ und ${}r,s$ teilerfremd). Berechne die Schnittmultiplizität der beiden Kurven im Nullpunkt.