Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 30/latex
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei
\mathl{C \subset {\mathbb P}^{2}_{K}}{} eine glatte Quadrik
\zusatzklammer {also eine Kurve vom Grad zwei} {} {}
über einem algebraisch abgeschlossenen Körper. Zeige, dass es eine Isomorphie der Kurve mit der projektiven Geraden ${\mathbb P}^{1}_{K}$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ \subset }{{\mathbb P}^{2}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {glatte Kurve}{}{}
vom Grad
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es einen
\definitionsverweis {Morphismus}{}{}
\maabb {} {C} {{\mathbb P}^{1}_{K}
} {}
derart gibt, dass jede Faser aus maximal
\mathl{d-1}{} Punkten besteht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei
\mathl{C=V_+ { \left( X^3+Y^3+Z^3 \right) } \subset {\mathbb P}^{2}_{K}}{} die \stichwort {Fermat-Kubik} {} über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik $\neq 3$. Beschreibe explizit einen Morphismus
\mathl{C \rightarrow {\mathbb P}^{1}_{K}}{,} bei dem über jedem Punkt maximal zwei Punkte liegen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mathl{C \subset {\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C}}}{} der komplex-projektive Abschluss des Einheitskreises. Bestimme eine explizite bijektive Parametrisierung
\mathl{{\mathbb P}^{1}_{{\mathbb C}} \rightarrow C}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige durch ein Beispiel, dass Lemma 30.2 nicht ohne die Voraussetzung gilt, dass der Körper \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossen}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass in den in
Beispiel *****
berechneten Schnittpunkten
\mathl{\neq (0,0)}{} der beiden Kurven ein
\definitionsverweis {transversaler Schnitt}{}{} vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestätige
den Satz von Bezout
für die beiden
\definitionsverweis {ebenen projektiven Kurven}{}{}
\mathl{C=V_+ { \left( ZY^2-X^3 \right) }}{} und
\mathl{D=V_+ { \left( X^2+(Y-Z)^2-Z^2 \right) }}{.}
}
{Skizziere die Situation.} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestätige
den Satz von Bezout
für die beiden
\definitionsverweis {ebenen projektiven Kurven}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ = }{V_+ { \left( ZY-X^2 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{V_+{ \left( X^2+(Y-Z)^2-Z^2 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{Skizziere die Situation.} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestätige
den Satz von Bezout
für die beiden monomialen Kurven, die affin durch
\mathl{C=V(X^2-Y^3)}{} und
\mathl{D=V(X^5-Y^4)}{} gegeben sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und seien $M, N$ $R$-Moduln. Ist \maabbdisp {f} {M} {N } {} ein $R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{,} so ist \maabbeledisp {f^\ast} { \operatorname{Hom} \, (N,R) } { \operatorname{Hom} \, (M,R) } {\varphi } {\varphi \circ f } {,} auch ein $R$-Modulhomomorphismus.
Es sei nun $0 \to M \to N \to P \to 0$ eine \definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{} von $R$-Moduln.
Zeige, dass dann die induzierte Sequenz
\mathdisp {0 \longrightarrow \operatorname{Hom} \, (P,R) \longrightarrow \operatorname{Hom} \, (N,R) \longrightarrow \operatorname{Hom} \, (M,R)} { }
exakt ist. Man gebe auch ein Beispiel mit $R = \Z$, das zeigt, dass der letzte Pfeil im Allgemeinen nicht surjektiv ist.
}
{} {}