Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 30

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}C\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine glatte Quadrik (also eine Kurve vom Grad zwei) über einem algebraisch abgeschlossenen Körper. Zeige, dass es eine Isomorphie der Kurve mit der projektiven Geraden ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}$ gibt.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}C\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine glatte Kurve vom Grad ${}d\geq 2$ . Zeige, dass es einen Morphismus ${}C\rightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ derart gibt, dass jede Faser aus maximal ${}d-1$ Punkten besteht.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}C=V_{+}{\left(X^{3}+Y^{3}+Z^{3}\right)}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ die Fermat-Kubik über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik ${}\neq 3$ . Beschreibe explizit einen Morphismus ${}C\rightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ , bei dem über jedem Punkt maximal zwei Punkte liegen.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}C\subset {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$ der komplex-projektive Abschluss des Einheitskreises. Bestimme eine explizite bijektive Parametrisierung ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\rightarrow C$ .

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige durch ein Beispiel, dass Lemma 30.2 nicht ohne die Voraussetzung gilt, dass der Körper algebraisch abgeschlossen ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass in den in Beispiel ***** berechneten Schnittpunkten ${}\neq (0,0)$ der beiden Kurven ein transversaler Schnitt vorliegt.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestätige den Satz von Bezout für die beiden ebenen projektiven Kurven ${}C=V_{+}{\left(ZY^{2}-X^{3}\right)}$ und ${}D=V_{+}{\left(X^{2}+(Y-Z)^{2}-Z^{2}\right)}$ .

Skizziere die Situation.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestätige den Satz von Bezout für die beiden ebenen projektiven Kurven ${}C=V_{+}{\left(ZY-X^{2}\right)}$ und ${}D=V_{+}{\left(X^{2}+(Y-Z)^{2}-Z^{2}\right)}$ .