Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 9/latex




\inputaufgabe
{3}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb A}^{2}_{K} \supseteq D(s) } { { {\mathbb A}_{ K }^{ 3 } } } { (s,t) } { \left( s , \, { \frac{ t^2 }{ s } } , \, t \right) = (x,y,z) } {.} Bestimme eine algebraische Gleichung $F$ für das Bild. Untersuche die Abbildung auf Injektivität und Surjektivität (als Abbildung nach $V(F)$). Vergleiche diese Abbildung mit den in Aufgabe 6.3 diskutierten Abbildungen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme für die in Beispiel ***** berechnete Trajektorie die Koordinaten der Punkte, wo die Kurve singulär ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mathdisp {{\mathfrak a}_1 \subseteq {\mathfrak a}_2 \subseteq {\mathfrak a}_3 \subseteq \ldots} { }
eine aufsteigende Kette von \definitionsverweis {Idealen}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Vereinigung}{}{}
\mathl{\bigcup_{n \in \N} {\mathfrak a}_n}{} ebenfalls ein Ideal ist. Zeige durch ein einfaches Beispiel, dass die Vereinigung von Idealen im Allgemeinen kein Ideal sein muss.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $K$ ein Körper und sei
\mathdisp {K[X_n, \, n \in \N]} { }
der Polynomring über $K$ in unendlich vielen Variablen. Man beschreibe darin ein nicht endlich erzeugtes Ideal und eine unendliche, echt aufsteigende Idealkette.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mathl{{\mathfrak a}}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} mit dem \definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S }
{ =} { R/{\mathfrak a} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass die Ideale von $S$ eindeutig denjenigen Idealen von $R$ entsprechen, die ${\mathfrak a}$ umfassen.

}
{Zeige, dass das Gleiche gilt für Primideale, Radikalideale und maximale Ideale.} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Begründe, warum der Ring
\mathdisp {\Z[X,Y,Z,W]/(XY-ZW, 5X^8-YZ^3+2WXY)} { }
\definitionsverweis {noethersch}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass $\mathbb Q$ keine \definitionsverweis {Algebra von endlichem Typ}{}{} über $\mathbb Z$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{A=K[X,Y]}{.} Finde eine $K$-\definitionsverweis {Unteralgebra}{}{} von $A$, die nicht endlich erzeugt ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Man gebe ein Beispiel eines nicht-noetherschen Ringes, dessen \definitionsverweis {Reduktion}{}{} ein Körper ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass für affin-algebraische Mengen
\mathl{V,V' \subseteq \mathbb A^n_K}{} die Beziehung der \definitionsverweis {affin-linearen Äquivalenz}{}{} eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es seien
\mathl{F,G \in K[X_1, \ldots, X_n]}{} Polynome und
\mathl{K \subseteq L}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.} Diskutiere, wie sich die verschiedenen Äquivalenzbegriffeaus der siebten Vorlesung für $F$ und $G$ (und für $V(F)$ und $V(G)$) unter dem Körperwechsel verhalten.

}
{} {}