Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 9

Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

${\mathbb {A} }_{K}^{2}\supseteq D(s)\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{3}},\,(s,t)\longmapsto \left(s,\,{\frac {t^{2}}{s}},\,t\right)=(x,y,z).$

Bestimme eine algebraische Gleichung ${}F$ für das Bild. Untersuche die Abbildung auf Injektivität und Surjektivität (als Abbildung nach ${}V(F)$). Vergleiche diese Abbildung mit den in Aufgabe 6.3 diskutierten Abbildungen.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme für die in Beispiel ***** berechnete Trajektorie die Koordinaten der Punkte, wo die Kurve singulär ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei

${\mathfrak {a}}_{1}\subseteq {\mathfrak {a}}_{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{3}\subseteq \ldots$

eine aufsteigende Kette von Idealen. Zeige, dass die Vereinigung ${}\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}_{n}$ ebenfalls ein Ideal ist. Zeige durch ein einfaches Beispiel, dass die Vereinigung von Idealen im Allgemeinen kein Ideal sein muss.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

$K[X_{n},\,n\in \mathbb {N} ]$

der Polynomring über ${}K$ in unendlich vielen Variablen. Man beschreibe darin ein nicht endlich erzeugtes Ideal und eine unendliche, echt aufsteigende Idealkette.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal mit dem Restklassenring

${}S=R/{\mathfrak {a}}\,.$

Zeige, dass die Ideale von ${}S$ eindeutig denjenigen Idealen von ${}R$ entsprechen, die ${}{\mathfrak {a}}$ umfassen.

Zeige, dass das Gleiche gilt für Primideale, Radikalideale und maximale Ideale.

Aufgabe (2 Punkte)

Begründe, warum der Ring

$\mathbb {Z} [X,Y,Z,W]/(XY-ZW,5X^{8}-YZ^{3}+2WXY)$

noethersch ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass ${}\mathbb {Q}$ keine Algebra von endlichem Typ über ${}\mathbb {Z}$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Sei ${}K$ ein Körper und sei ${}A=K[X,Y]$. Finde eine ${}K$- Unteralgebra von ${}A$, die nicht endlich erzeugt ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel eines nicht-noetherschen Ringes, dessen Reduktion ein Körper ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass für affin-algebraische Mengen ${}V,V'\subseteq \mathbb {A} _{K}^{n}$ die Beziehung der affin-linearen Äquivalenz eine Äquivalenzrelation ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}F,G\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ Polynome und ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Diskutiere, wie sich die verschiedenen Äquivalenzbegriffeaus der siebten Vorlesung für ${}F$ und ${}G$ (und für ${}V(F)$ und ${}V(G)$) unter dem Körperwechsel verhalten.