Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 29/latex

\setcounter{section}{29}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{.} Zeige, dass eine \definitionsverweis {ebene projektive Kurve}{}{} mit jeder projektiven Geraden in der projektiven Ebene einen nichtleeren Durchschnitt hat.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K= \Z/(5)$ und betrachte die beiden affinen ebenen algebraischen Kurven
\mathdisp {C=V { \left( X^2+Y^2-1 \right) } \text{ und } D=V { \left( X^3-2Y^2+3 \right) }} { . }
Bestimme den Durchschnitt $C \cap D$. Bestimme ferner die unendlich fernen Punkte der beiden Kurven \zusatzklammer {also die zusätzlichen Punkte auf dem \definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{} $\bar{C}$ bzw. $\bar{D}$} {} {.} Wenn man $K$ durch einen \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{} $K \subset L$ ersetzt, wie viele Punkte besitzt dann der Durchschnitt $\bar{C} \cap \bar{D}$ und wie viele davon liegen auf der unendlich fernen Geraden?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass sämtliche lokale Ringe der projektiven Geraden ${\mathbb P}^{1}_{K}$ isomorph zueinander sind. Man gebe eine möglichst einfache Beschreibung dieses Ringes.

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Lemniscate_of_Bernoulli.svg} }
\end{center}
\bildtext {Die Lemniskate von Bernoulli} }

\bildlizenz { Lemniscate of Bernoulli.svg } {} {Zorgit} {Commons} {PD} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für die durch
\mathl{V { \left( { \left( X^2+Y^2 \right) }^2-X^2+Y^2 \right) }}{} gegebene Lemniskate von Bernoulli die Singularitäten sowie die unendlich fernen Punkte in ${\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C}}$. Berechne in all diesen Punkten die Multiplizität und die Tangenten.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die durch die homogene Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ZX^2 }
{ =} {Y^3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegebene projektive Kurve
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C }
{ \subset }{ {\mathbb P}^{2}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} über einem Körper $K$ der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $0$.

a) Bestimme die singulären Punkte der Kurve.

b) Zeige, dass durch die Zuordnung
\mathdisp {\varphi: (S,T) \longmapsto \left( T^3 , \, ST^2 , \, S^3 \right) =(X,Y,Z)} { }
eine wohldefinierte Abbildung \maabbdisp {\varphi} { {\mathbb P}^{1}_{} } { {\mathbb P}^{2}_{} } {} gegeben ist.

c) Zeige, dass die Bildpunkte von $\varphi$ auf der Kurve $C$ liegen.

d) Welche Punkte in ${\mathbb P}^{1}_{}$ entsprechen den singulären Punkten der Kurve $C$.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{m+1}{} homogene Polynome
\mathl{F_0 , \ldots , F_m}{} in
\mathl{n+1}{} Variablen gegeben, die alle den gleichen Grad $d$ besitzen. Zeige, dass es eine offene Menge
\mathl{U \subseteq {\mathbb P}^{n}_{K}}{} gibt, auf der die Polynome einen Morphismus
\mathdisp {{\mathbb P}^{n}_{K} \supseteq U \longrightarrow {\mathbb P}^{m}_{K}} { }
definieren.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{P=(a_0 , \ldots , a_n) \in {\mathbb P}^{n}_{K}}{} ein Punkt im projektiven Raum. Zeige, dass die Projektion des ${\mathbb P}^{n}_{K}$ auf ${\mathbb P}^{n-1}_{K}$ mit Zentrum $P$ durch die Matrix
\mathdisp {} { }
gegeben ist, also durch die Abbildung
\mathdisp {\begin{pmatrix} x_0 \\x_1\\ \vdots\\x_n \end{pmatrix} \longmapsto \begin{pmatrix} x_0 \\x_1\\ \vdots\\x_n \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Tschirnhausen_cubic.png} }
\end{center}
\bildtext {Die Tschirnhausen Kubik} }

\bildlizenz { Tschirnhausen cubic.png } {} {Oleg Alexandrov} {Commons} {PD} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für die durch
\mathl{V { \left( X^3+3X^2-Y^2 \right) }}{} gegebene
\definitionswortenp{Tschirnhausen Kubik}{} die Singularitäten unter Berücksichtigung der unendlich fernen Punkte. Bestimme die Tangenten in den Singularitäten und in den unendlich fernen Punkten.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für das durch
\mathl{V { \left( X^3+Y^3-3XY \right) }}{} definierte Kartesische Blatt die unendlich fernen Punkte in ${\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C}}$ und berechne die Multiplizität und die Tangenten in diesen Punkten.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe für die projektive Lemniskate von Bernoulli
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_+ { \left( { \left( X^2+Y^2 \right) }^2-Z^2X^2+Z^2Y^2 \right) } }
{ \subset} { {\mathbb P}^{2}_{K} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} einen surjektiven Morphismus auf eine projektive Quadrik an. Wie viele Punkte der Lemniskate werden dabei auf einen Punkt der Quadrik abgebildet?

}
{} {}