Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 4/latex

\setcounter{section}{4}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Non_cohen_macaulay_scheme_thumb.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Non cohen macaulay scheme thumb.png } {} {Jakob.scholbach} {en.wikipedia} {CC-by-sa 3.0} {}

Finde ein \definitionsverweis {Ideal}{}{,} dessen \definitionsverweis {Nullstellenmenge}{}{} das folgende Gebilde ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V }
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge, die aus endlich vielen Punkten bestehe. Zeige: $V$ ist genau dann \definitionsverweis {irreduzibel}{}{,} wenn $V$ einpunktig ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Skizziere ein Beispiel einer \definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{,} aber nicht \definitionsverweis {irreduziblen}{}{} \definitionsverweis {affin-algebraischen}{}{} Teilmenge.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die Menge der reellen Zahlen $\R$ mit der metrischen Topologie. Ist $\R$ \definitionsverweis {irreduzibel}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} und $\Z/(p)$ der zugehörige \definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{.} Zeige: Jede Quadrik der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F }
{ =} { aX^2+bY^2+c }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit $a,b \neq 0$ hat mindestens eine Lösung in $\Z/(p)$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Erkläre, wo der Beweis zu Satz 4.8 zusammenbricht, wenn man ihn auf mehr als zwei Variablen ausdehnen will.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $R$ und $S$ \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} und sei \maabb {\varphi} {R} {S } {} ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.} Es sei ${\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} in $S$. Zeige, dass das Urbild
\mathl{\varphi^{-1}( {\mathfrak p} )}{} ein Primideal in $R$ ist.

Zeige durch ein Beispiel, dass das Urbild eines \definitionsverweis {maximalen Ideales}{}{} kein maximales Ideal sein muss.

}
{} {}

In den folgenden Aufgabe werden die Begriffe \stichwort {abgeschlossene Abbildung} {} und \stichwort {offene Abbildung} {} verwendet.

Eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} \maabbdisp {f} {X} {Y } {} zwischen \definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{} $X$ und $Y$ heißt \definitionswort {abgeschlossen}{,} wenn Bilder von \definitionsverweis {abgeschlossenen Mengen}{}{} wieder abgeschlossen sind.

Sie heißt \stichwort {offen} {,} wenn Bilder von offenen Mengen wieder offen sind.

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Projektion \maabbeledisp {} { {\mathbb A}^{2}_{K} } { {\mathbb A}^{1}_{} } {(x,y)} {x } {,} nicht \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} in der \definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine ebene algebraische Kurve über den komplexen Zahlen $\mathbb C$ nicht \definitionsverweis {kompakt}{}{} in der metrischen Topologie ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Berechne in $\mathbb A^3_{\R}$ den Schnitt des Zylinders
\mathl{V(x^2+y^2-1)}{} mit der Kugel mit Mittelpunkt
\mathl{P=(0,0,0)}{} und Radius $r$ in Abhängigkeit von $r$. Wann ist der Durchschnitt leer, wann irreduzibel?

}
{} {Man darf verwenden, dass der reelle Kreis irreduzibel ist.}

\inputaufgabe
{6}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} $\geq 3$ und $\Z/(p)$ der zugehörige \definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{.} Es sei ein Polynom
\mathl{F \in \Z/(p) [X,Y]}{} der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F }
{ =} { \alpha X^2+\beta XY + \gamma Y^2 + \delta X + \epsilon Y + \eta }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben. Zeige, dass für das zugehörige Nullstellengebilde
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V(F) }
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} (wenn $\alpha, \beta, \gamma$ nicht alle null sind, so ist das eine Quadrik) die folgenden drei Alternativen bestehen. \aufzaehlungdrei{$V(F)$ besitzt mindestens einen Punkt. }{
\mathl{F= c}{} mit einer Konstanten
\mathl{c\neq 0}{.} }{Es gibt eine Variablentransformation derart, dass das Polynom in den neuen Koordinaten die Gestalt $Z^2-u$ mit einem Nichtquadrat $u \in \Z/(p)$ besitzt. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Sei $V$ eine irreduzible, affin-algebraische Menge mit mindestens zwei Punkten und seien
\mathl{P_1, \ldots , P_m \in V}{} endlich viele Punkte darin. Zeige, dass dann auch
\mathl{V \setminus \{ P_1, \ldots , P_m\}}{} \zusatzklammer {in der induzierten Topologie} {} {} irreduzibel ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {faktorieller Integritätsbereich}{}{} mit \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} $Q(R)$. Zeige: Wenn
\mathl{F,G \in R[X]}{} keinen gemeinsamen Teiler besitzen, so besitzen sie aufgefasst in
\mathl{Q(R)[X]}{} ebenfalls keinen gemeinsamen Teiler.

}
{\zusatzklammer {Man darf sich auf Hauptidealbereiche $R$ beschränken.} {} {}} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mathl{K= \mathbb Q}{} der \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {rationalen Zahlen}{}{.} Begründe, ob
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V(X^2+Y^2-1) }
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{\Q} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist oder nicht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass die Projektion \maabbeledisp {} { {\mathbb A}^{2}_{K} } { {\mathbb A}^{1}_{K} } {(x,y)} {x } {,} \definitionsverweis {offen}{}{} in der \definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass die affine Ebene $\mathbb A^2_K$ mit der \definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{} \definitionsverweis {kompakt}{}{} ist.

}
{} {}