Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 10/latex

\setcounter{section}{10}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $A$ eine kommutative $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{,} die als $K$-\definitionsverweis {Modul}{}{} \definitionsverweis {endlich}{}{} sei. Zeige, dass ein Element $f \in A$ genau dann eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist, wenn es ein \definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $K$ und $L$ Körper, sei
\mathl{K \subseteq L}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} und sei $A$,
\mathl{K \subseteq A \subseteq L}{,} ein Zwischenring. Zeige, dass dann $A$ ebenfalls ein Körper ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R }
{ \subseteq }{S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Ringerweiterung}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige: Wenn $f$, aufgefasst in $S$, eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist, dann ist $f$ eine Einheit in $R$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $M$ ein $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.} Dann ist $M$ genau dann \definitionsverweis {noethersch}{}{,} wenn jede aufsteigende Kette
\mathdisp {M_0 \subseteq M_1 \subseteq M_2 \subseteq \ldots} { }
von $R$-\definitionsverweis {Untermoduln}{}{} stationär wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $f \in R$ ein \definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$. Zeige, dass dies zu einer \definitionsverweis {kurzen exakten Sequenz}{}{}
\mathdisp {0\stackrel{}{\longrightarrow}R \stackrel{\cdot f}{\longrightarrow}R
\mathdisplaybruch\stackrel{}{\longrightarrow}R/f \stackrel{}{\longrightarrow}0} { }
von $R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{} führt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und seien
\mathl{I,J \subseteq R}{} \definitionsverweis {Ideale}{}{.} Zeige, dass die Sequenz
\mathdisp {0\stackrel{}{\longrightarrow}R/ I \cap J \stackrel{}{\longrightarrow}R/I \times R/J
\mathdisplaybruch\stackrel{}{\longrightarrow}R/I+J \stackrel{}{\longrightarrow}0} { }
mit
\mathl{r \mapsto (r,r)}{} und
\mathl{(s,t) \mapsto s-t}{} \definitionsverweis {exakt}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei $N$ ein $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{} mit $R$-\definitionsverweis {Untermoduln}{}{}
\mathl{L \subseteq M \subseteq N}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Restklassenmoduln}{}{} durch die \definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{}
\mathdisp {0\stackrel{}{\longrightarrow}M/L \stackrel{}{\longrightarrow}N/L
\mathdisplaybruch\stackrel{}{\longrightarrow}N/M \stackrel{}{\longrightarrow}0} { }
miteinander in Beziehung stehen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei \maabb {\varphi} {M} {N } {} ein $R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{} zwischen den $R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{} \mathkor {} {M} {und} {N} {.} Zeige, dass dies zu einer \definitionsverweis {kurzen exakten Sequenz}{}{}
\mathdisp {0 \longrightarrow \operatorname{kern} \varphi \longrightarrow M \longrightarrow \operatorname{bild} \varphi \longrightarrow 0} { }
führt.

}
{} {}

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $M$ ein $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.} Der $R$-Modul
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { M }^{ * } }
{ =} { \operatorname{Hom}_{ R } { \left( M , R \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} heißt der \definitionswort {duale Modul}{} zu $M$.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, L \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, M \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, N \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
eine \definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{} von $R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{}
\mathl{L,M,N}{.} Zeige, dass dies zu einer exakten Sequenz
\mathdisp {0 \longrightarrow { N }^{ * } \longrightarrow { M }^{ * } \longrightarrow { L }^{ * }} { }
der \definitionsverweis {dualen Moduln}{}{} führt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, L \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, M \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, N \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
eine \definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{} von $K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{}
\mathl{L,M,N}{.} Zeige, dass dies zu einer kurzen exakten Sequenz
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, { N }^{ * } \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, { M }^{ * } \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, { L }^{ * } \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
der \definitionsverweis {Dualräume}{}{} führt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine ganze Zahl. Wir betrachten die \definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{}
\mathdisp {0 \longrightarrow \Z \stackrel{\cdot a}{ \longrightarrow} \Z \longrightarrow \Z/(a) \longrightarrow 0} { }
von $\Z$-\definitionsverweis {Moduln}{}{.} Zeige, dass man die nach Aufgabe 10.9 exakte Sequenz
\mathdisp {0 \longrightarrow { ( \Z/(a) ) }^{ * } \longrightarrow { \Z }^{ * } \longrightarrow { \Z }^{ * }} { }
bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \geq }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nicht nach rechts durch
\mathl{\rightarrow 0}{} exakt fortsetzen kann.

}
{} {}

Die folgenden Aufgaben verwenden den Begriff des artinschen Moduls, der \anfuehrung{dual}{} zum Begriff des noetherschen Moduls ist.

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Ein $R$-Modul $M$ heißt \definitionswort {artinsch}{,} wenn jede absteigende Kette
\mathdisp {M_1 \supseteq M_2 \supseteq M_3 \supseteq \ldots} { }
von $R$-Untermoduln stationär wird.

Ein kommutativer Ring $R$ heißt
\definitionswortenp{artinsch}{,} wenn er als $R$-Modul artinsch ist.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $A$ ein \definitionsverweis {artinscher}{}{} Integritätsbereich. Man zeige, dass $A$ ein Körper ist. Man gebe ein Beispiel eines artinschen kommutativen Ringes, der kein Körper ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ \subseteq }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} mit dem \definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{R/ {\mathfrak a}}{.} Zeige durch ein Beispiel, dass ${\mathfrak a}$ endlich erzeugt und
\mathl{R/ {\mathfrak a}}{} \definitionsverweis {noethersch}{}{} sein kann, ohne dass $R$ noethersch ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mathdisp {0\stackrel{}{\longrightarrow}L \stackrel{}{\longrightarrow}M
\mathdisplaybruch\stackrel{}{\longrightarrow}N \stackrel{}{\longrightarrow}0} { }
eine \definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{} von $R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{.} Es gebe ein $R$-\definitionsverweis {Modul-Erzeugen\-densystem}{}{} von $L$ mit $k$ Elementen und ein $R$-Modul-Erzeugendensystem von $N$ mit $n$ Elementen. Zeige, dass es ein $R$-Modul-Erzeugendensystem von $M$ mit $k+n$ Elementen gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,} $A$ eine kommutative \definitionsverweis {endliche}{}{} $R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} und $M$ ein \definitionsverweis {endlicher}{}{} $A$-\definitionsverweis {Modul}{}{.} Zeige, dass $M$ auch ein endlicher $R$-Modul ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathl{f \in R}{} sei nicht \definitionsverweis {nilpotent}{}{.} Zeige, dass es ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} ${\mathfrak p}$ mit
\mathl{f \notin {\mathfrak p}}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $\mathfrak a$ ein \definitionsverweis {Radikal}{}{} in einem kommutativen Ring. Zeige, dass $\mathfrak a$ der Durchschnitt von \definitionsverweis {Primidealen}{}{} ist.

}
{} {Eine Möglichkeit ergibt sich aus der vorstehenden Aufgabe, eine andere aus Aufgabe 13.5 weiter unten.}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{P \in K[X]}{} ein nichtkonstantes \definitionsverweis {Polynom}{}{.} Zeige, dass $P$ nicht \definitionsverweis {algebraisch}{}{} über $K$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{L=K(X)}{} der \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} des \definitionsverweis {Polynomrings}{}{} $K[X]$. Es sei
\mathbed {M} {}
{K \subseteq M \subseteq L} {}
{M \neq K} {} {} {,} ein Zwischenkörper. Zeige, dass
\mathl{M \subseteq L}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $A$ eine \definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{} $\Z$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m} }
{ \subseteq }{ A }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{A/ {\mathfrak m}}{} ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{} ist.

}
{} {}

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $A$ eine kommutative $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Man nennt Elemente
\mathl{f_1 , \ldots , f_n \in A}{} \definitionswort {algebraisch abhängig}{,} wenn es ein von $0$ verschiedenes Polynom
\mathl{P \in K[X_1 , \ldots , X_n]}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(f_1 , \ldots , f_n) }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Zeige, dass die Variablen
\mathl{X_1 , \ldots , X_n}{} \definitionsverweis {algebraisch unabhängig}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ und seien
\mathl{n+1}{} Polynome
\mathl{f_1 , \ldots , f_{n+1} \in K[X_1 , \ldots , X_n]}{} gegeben. Zeige, dass diese \definitionsverweis {algebraisch abhängig}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} { { {\mathbb A}_{ K }^{ m } } } { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } } {} eine \definitionsverweis {polynomiale Abbildung}{}{} zwischen \definitionsverweis {affinen Räumen}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m }
{ < }{n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ nicht \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $A$ eine kommutative $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ und seien
\mathl{n}{} Elemente
\mathl{f_1 , \ldots , f_{n} \in A}{} gegeben. Zeige, dass diese Elemente genau dann \definitionsverweis {algebraisch unabhängig}{}{} sind, wenn die von diesen Elementen \definitionsverweis {erzeugte}{}{} $K$-Algebra
\mathl{K[f_1 , \ldots , f_n ]}{} \definitionsverweis {isomorph}{}{} zum \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ \in }{ K[X,Y] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathdisp {K[X,Y]/(F)} { }
eine \definitionsverweis {endliche}{}{} $K[T]$-Algebra ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es seien
\mathl{R,S,T}{} \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} und seien
\mathl{\varphi:R \rightarrow S}{} und
\mathl{\psi:S \rightarrow T}{} Ringhomomorphismen derart, dass $S$ \definitionsverweis {endlich}{}{} über $R$ und $T$ endlich über $S$ ist. Zeige, dass dann auch $T$ endlich über $R$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Sei $A$ ein kommutativer Ring und sei
\mathdisp {0 \longrightarrow M \longrightarrow N \longrightarrow P \longrightarrow 0} { }
eine \definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{} von $A$-Moduln. Man zeige, dass $N$ genau dann artinsch ist, wenn $M$ und $P$ artinsch sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $M_i$,
\mathl{i \in \N}{,} seien $R$-Moduln mit fixierten $R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismen}{}{} \maabbdisp {\varphi_i} {M_i} {M_{i+1} } {.} Die Sequenz
\mathdisp {\ldots \longrightarrow M_i \longrightarrow M_{i+1} \longrightarrow M_{i+2} \longrightarrow M_{i+3} \longrightarrow \ldots} { }
heißt
\definitionswortenp{exakt}{,} wenn für alle $i$ gilt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Kern} \,(\varphi_{i}) }
{ = }{ \operatorname{Bild} \, (\varphi_{i-1}) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. \aufzaehlungzwei {Zeige, dass diese Definition im Falle einer kurzen exakten Sequenz mit der Definition 10.2 in der Vorlesung übereinstimmt. } {Es sei nun
\mathl{R=K}{} ein Körper, die $M_i$ seien endlich erzeugt,
\mathl{M_0 = 0}{} und alle
\mathl{M_i =0}{} für
\mathl{i \geq n}{} für ein gewisses $n$. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 0}^{n} (-1)^i \operatorname{dim}_K M_i }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $A$ eine \definitionsverweis {endliche}{}{} $K$-Algebra. Zeige: Dann ist $A$ \definitionsverweis {artinsch}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.} Zeige: Wenn $M$ \definitionsverweis {artinsch}{}{} und
\mathl{\phi: M \to M}{} $R$-linear und injektiv ist, so ist $\phi$ ein Isomorphismus. Formuliere und beweise auch eine analoge Aussage für den Fall, das $M$ noethersch ist.

}
{} {}