Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 11/latex

\setcounter{section}{11}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und
\mathl{f,g \in K[X_1 , \ldots , X_n]}{.} Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V(f) }
{ \subseteq }{ V(g) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann gilt, wenn es eine natürliche Zahl $r$ und ein
\mathl{h \in K[X_1 , \ldots , X_n]}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{fh }
{ = }{g^r }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt. Betrachte auch die Spezialfälle, wo \mathkor {} {f} {bzw.} {g} {} konstante Polynome sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{.} Beweise den Hilbertschen Nullstellensatz direkt für den \definitionsverweis {Polynomring}{}{} in einer Variablen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass sich in der durch den Hilbertschen Nullstellensatz gegebenen Korrespondenz Punkte und \definitionsverweis {maximale Ideale}{}{} entsprechen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

In der durch den Hilbertschen Nullstellensatz gegebenen Korrespondenz \definitionsverweis {irreduzible Varietäten}{}{} und \definitionsverweis {Primideale}{}{} entsprechen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{.} Beweise den folgenden Spezialfall des Hilbertschen Nullstellensatzes direkt: Wenn
\mathl{f \in K[X_1 , \ldots , X_n]}{} keine Nullstelle im $K^n$ besitzt, so ist $f$ ein \zusatzklammer {von $0$ verschiedenes} {} {} konstantes Polynom.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die beiden Polynome
\mathl{X^2+Y^2}{} und
\mathl{X^2-Y^3}{} und die zugehörigen algebraischen Kurven über den Körpern $\R$ und ${\mathbb C}$. \aufzaehlungvier{Gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V(X^2+Y^2) }
{ \subseteq }{ V(X^2-Y^3) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in ${\mathbb A}^{2}_{\R}$? }{Gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V(X^2+Y^2) }
{ \subseteq }{ V(X^2-Y^3) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in ${\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C}}$? }{Gehört
\mathl{X^2-Y^3}{} zum \definitionsverweis {Radikal}{}{} von
\mathl{(X^2+Y^2)}{} in
\mathl{\R[X,Y]}{?} }{Gehört
\mathl{X^2-Y^3}{} zum Radikal von
\mathl{(X^2+Y^2)}{} in
\mathl{{\mathbb C}[X,Y]}{?} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \definitionsverweis {Polynome}{}{}
\mathl{f_1 , \ldots , f_k \in {\mathbb C}[X_1 , \ldots , X_n]}{} gegeben, die wir als \definitionsverweis {Funktionen}{}{} \maabbdisp {f_i} {{\mathbb C}^n} {{\mathbb C} } {} auffassen. Es sei
\mathl{f \in {\mathbb C}[X_1 , \ldots , X_n]}{} ein weiteres Polynom und es seien \maabbdisp {g_1 , \ldots , g_k} {{\mathbb C}^n} {{\mathbb C} } {} Funktionen, die nicht unbedingt Polynome sind. Es gelte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f }
{ =} { g_1f_1 + \cdots + g_kf_k }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {eine Gleichung von Funktionen} {} {.} Zeige, dass $f$ zum \definitionsverweis {Radikal}{}{} von
\mathl{(f_1 , \ldots , f_k)}{} gehört.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{n \in \N_+}{.} Zeige, dass die Funktionen \maabb {\varphi} {K^n} {K } {} der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi }
{ =} { { \frac{ P }{ Q } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit \definitionsverweis {Polynomen}{}{}
\mathl{P,Q \in K[X_1 , \ldots , X_n]}{} und $Q$ nullstellenfrei auf $K^n$ einen \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} bilden. Zeige, dass bei $K$ \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossen}{}{} dieser mit dem Polynomring übereinstimmt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{.} Zeige, dass es nur endlich viele \definitionsverweis {Nullstellengebilde}{}{} im
\mathl{{ {\mathbb A}_{ K }^{ n } }}{} gibt, aber unendlich viele \definitionsverweis {Radikale}{}{} in
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei $f_j$,
\mathl{j \in J}{,} eine Familie von Elementen in $R$. Es sei angenommen, dass die $f_j$ zusammen das \definitionsverweis {Einheitsideal}{}{} erzeugen. Zeige, dass es eine endliche Teilfamilie $f_j$,
\mathl{j \in J_0 \subseteq J}{} gibt, die ebenfalls das Einheitsideal erzeugt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien
\mathl{\mathfrak a, \mathfrak b \subseteq K[X_1, \ldots, X_n]}{} zwei \definitionsverweis {Radikalideale}{}{.} Zeige, dass die Nullstellengebilde $V(\mathfrak a)$ und $V(\mathfrak b)$ genau dann \definitionsverweis {affin-linear äquivalent}{}{} sind, wenn es eine affin-lineare Variablentransformation gibt, die die beiden Ideale ineinander überführt.

}
{} {}

Es sei \maabbdisp {\varphi} {A} {B } {} ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} zwischen den \definitionsverweis {kommutativen Ringen}{}{} \mathkor {} {A} {und} {B} {.} Zu einem \definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq A}{} nennt man das von
\mathl{\varphi { \left( {\mathfrak a} \right) }}{} \definitionsverweis {erzeugte Ideal}{}{} das \definitionswort {Erweiterungsideal}{} von ${\mathfrak a}$ unter $\varphi$. Es wird mit
\mathl{{\mathfrak a} B}{} bezeichnet.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathfrak a} }
{ \subseteq }{ \R[X_1 , \ldots , X_n ] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} und
\mathl{f \in \R[X_1 , \ldots , X_n ]}{.} Zeige, dass genau dann
\mathl{f \in {\mathfrak a}}{} gilt, wenn
\mathl{f \in {\mathfrak a} {\mathbb C}[X_1 , \ldots , X_n ]}{} für das \definitionsverweis {Erweiterungsideal}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Skizziere die Graphen der Funktionen $x$ und $y$ auf $V(xy)$.

}
{Man mache sich klar, dass das Produkt $xy$ die Nullfunktion ist.} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Koordinatenring}{}{} zu einer \definitionsverweis {affin-algebraischen Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V }
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} die aus $d$ Punkten besteht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Koordinatenring}{}{} zur \definitionsverweis {affin-algebraischen Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V }
{ = }{ V(5X-8Y +3) }
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die Hyperbel
\mathl{V(xy-1)}{} über dem Körper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ = }{ \Z/(11) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bestimme das Inverse von $4x^3$ im zugehörigen Koordinatenring.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein Körper und
\mathl{V,W \subseteq { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }}{} seien zwei affin-algebraische Mengen. Es sei
\mathl{V \subseteq W}{} vorausgesetzt. Man definiere einen $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} zwischen den beiden \definitionsverweis {Koordinatenringen}{}{} $R(V)$ und $R(W)$ und beschreibe dessen wichtigste Eigenschaften. Man gebe ein Beispiel von zwei affin-algebraischen Mengen, die nicht ineinander enthalten sind, von denen aber die Koordinatenringe isomorph sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} , {\mathfrak b} }
{ \subseteq} { K[X_1 , \ldots , X_n] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \definitionsverweis {Ideale}{}{,} deren \definitionsverweis {Radikal}{}{} übereinstimmt. Zeige, dass es eine natürliche Bijektion zwischen den Radikalen der \definitionsverweis {Restklassenringe}{}{} \mathkor {} {K[X_1 , \ldots , X_n]/ {\mathfrak a}} {und} {K[X_1 , \ldots , X_n]/ {\mathfrak b}} {} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein Körper mit $q$ Elementen und sei
\mathl{V =V( {\mathfrak a} ) \subseteq { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }}{} eine \definitionsverweis {affin-algebraische Menge}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Koordinatenring}{}{} von $V$ nicht gleich
\mathl{K[x_1 , \ldots , x_n]/(x_1^q-x_1 , \ldots , x_n^q-x_n) + {\mathfrak a}}{} sein muss.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $0$. Wir betrachten den Schnitt von einem Zylinder und einer Kugel, und zwar
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C }
{ =} {V(X^2+Y^2-1) \cap V((X-3)^2 +Y^2+Z^2-7) }
{ \subseteq} {{ {\mathbb A}_{ K }^{ 3 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass man den \definitionsverweis {Koordinatenring}{}{} von $C$ als \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} eines \definitionsverweis {Polynomrings}{}{} in zwei Variablen schreiben kann.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mathl{F \in \mathbb C[X_1, \ldots, X_n]}{} und sei
\mathl{U \subseteq \mathbb A^n_{\mathbb C}}{} eine Teilmenge, die in der metrischen Topologie offen und nicht leer sei. Es sei
\mathl{F|_{ U}=0}{} die Nullfunktion. Zeige, dass dann $F$ das Nullpolynom ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Beweise Korollar 11.3 direkt aus Satz 10.10.

}
{} {}

\inputaufgabe
{7}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und $R$ der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} in $n$ Variablen über $K$. Wir wollen einen alternativen Beweis einsehen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Id} \, (V(J)) }
{ = }{ \operatorname{rad} \, (J) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für jedes Ideal $J$ in $R$ ist, der auf Korollar 11.3 aufbaut. Es sei
\mathl{f \in \operatorname{Id}\,(V(J))}{.} Betrachte den Ring $R[T]$ und zeige, dass das \definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ J' }
{ =} { (J, 1 -f \cdot T) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} trivial ist. Schließe daraus, dass $f$ im Radikal von $J$ liegt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F }
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_n] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und betrachte die dadurch definierte \definitionsverweis {polynomiale Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } } {{ {\mathbb A}_{ K }^{ n+1 } } } {(x_1 , \ldots , x_n)} {(x_1 , \ldots , x_n, F(x_1 , \ldots , x_n)) } {,} die eine Bijektion des \definitionsverweis {affinen Raumes}{}{} mit dem \definitionsverweis {Graphen}{}{} von $F$ definiert. Zu einer \definitionsverweis {affin-algebraischen Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V( {\mathfrak a} ) }
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} betrachten wir das Bild
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V' }
{ = }{ \varphi(V) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Man zeige, dass $V'$ ebenfalls affin-algebraisch ist und man gebe ein beschreibendes Ideal an. Zeige, dass $V$ genau dann \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist, wenn $V'$ irreduzibel ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Wir betrachten die beiden algebraischen Kurven
\mathdisp {V(x^2+y^2-2) \text{ und } V(x^2+2y^2-1)} { }
über dem Körper $\Z/(7)$. Zeige, dass der Durchschnitt leer ist, und finde einen Erweiterungskörper
\mathl{K \supseteq \Z/(7)}{,} über dem der Durchschnitt nicht leer ist. Berechne alle Punkte im Durchschnitt über $K$ und über jedem anderen Erweiterungskörper. Man beschreibe auch den Koordinatenring des Durchschnitts.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{} endlich viele Punkte in der affinen Ebene ${\mathbb A}^{2}_{K}$. Es seien
\mathl{a_1, \ldots , a_n \in K}{} beliebig vorgegebene Werte. Zeige, dass es ein Polynom
\mathl{F \in K[X,Y]}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(P_i) }
{ = }{a_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mathl{i=1, \ldots , n}{} gibt.

}
{} {}