Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 12
- Übungsaufgaben
Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und eine kommutative - Algebra von endlichem Typ. Zeige, dass die Punkte aus den maximalen Idealen in entsprechen.
Es sei eine kommutative -Algebra von endlichem Typ. Zeige, dass für jedes Ideal in die Gleichheit
gilt.
Zeige, dass die Zariski-Topologie auf dem -Spektrum einer endlich erzeugten kommutativen -Algebra wirklich eine Topologie ist.
Es sei ein Körper und sei eine affin-algebraische Menge mit Verschwindungsideal und Koordinatenring
Zeige, dass das - Spektrum von homöomorph zu ist.
Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei eine - Algebra von endlichem Typ. Beweise, dass zwischen den abgeschlossenen Teilmengen des - Spektrums und den Radikalen in eine bijektive Korrespondenz besteht.
Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei eine reduzierte - Algebra von endlichem Typ. Beweise den Identitätssatz in der folgenden Gestalt: Wenn für gilt, dass ist für alle , so ist .
Man beschreibe zu einer kommutativen - Algebra von endlichem Typ die Spektrumsabbildung, die zum Strukturhomomorphismus der Algebra gehört.
Es seien kommutative - Algebren von endlichem Typ und und seien - Algebrahomomorphismen. Man zeige, dass für die zugehörigen Spektrumsabbildungen
gilt. Ferner zeige man, dass zur Identität auch die Identität ist.
Man gebe ein Beispiel von zwei kommutativen - Algebren von endlichem Typ und einer stetigen Abbildung zwischen den zugehörigen - Spektren, die nicht von einem - Algebrahomomorphismus herrühren kann.
Es sei ein Körper und eine kommutative - Algebra von endlichem Typ, und sei . Es sei
die zum Einsetzungshomomorphismus gehörende Spektrumsabbildung. Zeige, dass
ist.
Es sei ein Körper und sei eine kommutative -Algebra von endlichem Typ mit der Reduktion . Zeige, dass es eine natürliche Homöomorphie
gibt.
Es sei ein Körper, eine endlich erzeugte -Algebra, sei ein Ideal und sei . In welcher Beziehung stehen die beiden Aussagen
und die beiden Aussagen
zueinander. Zeige, dass die Antwort davon abhängt, ob algebraisch abgeschlossen ist oder nicht.
Es sei ein Körper und seien Polynome für . Es sei
der zugehörige Einsetzungshomomorphismus. Zeige, dass die Spektrumsabbildung
(über die Identifizierung aus Lemma 12.3) mit der direkten polynomialen Abbildung
übereinstimmt.
Welche „Funktoren“ in der Mathematik kennen Sie?
Bei den folgenden Aufgaben betrachten wir zu einem beliebigen topologischen Raum
(Mannigfaltigkeit, Teilmenge des , reelles Intervall)
den Ring der stetigen reellwertigen Funktionen darauf. Dabei sollte man die Räume in Analogie zu den -Spektren und die Funktionenringe in Analogie zu den
(Koordinaten)-
ringen sehen.
Wir betrachten den Ring der stetigen Funktionen von nach . Handelt es sich um einen Integritätsbereich?
Wir betrachten das Ideal zu im Sinne von Aufgabe 12.20. Ist dies ein Hauptideal?
Es sei ein topologischer Raum und der Ring der stetigen Funktionen auf . Es sei eine Teilmenge. Zeige, dass die Teilmenge
ein Ideal in ist. Definiere einen Ringhomomorphismus
Ist dieser immer injektiv? Surjektiv?
Es seien und topologische Räume und
eine stetige Abbildung. Zeige, dass dies einen Ringhomomorphismus
induziert.
Es sei eine Teilmenge von und der Ring der stetigen Funktionen von nach . Dann ist durch
ein Ringhomomorphismus gegeben.
- Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn abgeschlossen ist.
- Für welche Mengen ist injektiv?
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein unendlicher Körper und eine kommutative - Algebra von endlichem Typ, und sei . Es sei
die zum Einsetzungshomomorphismus gehörende Spektrumsabbildung Zeige, dass genau dann konstant ist, wenn konstant ist.
Man mache sich dabei auch die unterschiedlichen Bedeutungen von „konstant“ klar.
Aufgabe (5 Punkte)
Man gebe ein Beispiel von zwei integren - Algebren von endlichem Typ und und einem - Algebrahomomorphismus , der kein Ringisomorphismus ist, wo aber die induzierte Spektrumsabbildung ein Homöomorphismus ist.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien und integre -Algebren von endlichem Typ. Es sei ein endlicher injektiver -Algebrahomomorphismus. Zeige, dass dann surjektiv ist.
Aufgabe (6 Punkte)
Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik . Es sei eine polynomiale Abbildung der Form
gegeben (mit ) Zeige, dass genau dann injektiv ist, wenn die Form hat
mit , ungerade und ein Polynom, in dem nur geradzahlige Exponenten auftreten.
Aufgabe (5 Punkte)
Betrachte das Ideal
und das zugehörige Nullstellengebilde . Zeige, dass zum Radikal von gehört. Zeige damit, dass isomorph zu einer ebenen algebraischen Kurve ist.
Man benutze, dass das Radikal der Durchschnitt der Primideale ist, die es umfassen.
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