Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 12/latex

\setcounter{section}{12}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das $\R$-\definitionsverweis {Spektrum}{}{} von
\mathl{\R[X,Y]/(X^2+Y^2-1)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das $K$-\definitionsverweis {Spektrum}{}{} von
\mathl{K^n}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das $\R$-\definitionsverweis {Spektrum}{}{} der $\R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} ${\mathbb C}$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und $R$ eine kommutative $K$-\definitionsverweis {Algebra von endlichem Typ}{}{.} Zeige, dass die Punkte aus
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} den \definitionsverweis {maximalen Idealen}{}{} in $R$ entsprechen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra von endlichem Typ. Zeige, dass für jedes Ideal
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq R}{} in
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V ( {\mathfrak a} ) }
{ =} { V(\operatorname{rad} \, ( {\mathfrak a} )) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Zariski-Topologie auf dem $K$-Spektrum einer endlich erzeugten kommutativen $K$-Algebra $R$ wirklich eine \definitionsverweis {Topologie}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V }
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {affin-algebraische Menge}{}{} mit \definitionsverweis {Verschwindungsideal}{}{}
\mathl{\operatorname{Id} \, { \left( V \right) }}{} und \definitionsverweis {Koordinatenring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R }
{ \defeq} { K[X_1 , \ldots , X_n]/ \operatorname{Id} \, { \left( V \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass das $K$-\definitionsverweis {Spektrum}{}{} von $R$ \definitionsverweis {homöomorph}{}{} zu $V$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und sei $R$ eine $K$-\definitionsverweis {Algebra von endlichem Typ}{}{.} Beweise, dass zwischen den \definitionsverweis {abgeschlossenen Teilmengen}{}{} des $K$-\definitionsverweis {Spektrums}{}{}
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} und den \definitionsverweis {Radikalen}{}{} in $R$ eine bijektive Korrespondenz besteht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und sei $R$ eine \definitionsverweis {reduzierte}{}{} $K$-\definitionsverweis {Algebra von endlichem Typ}{}{.} Beweise den \stichwort {Identitätssatz} {} in der folgenden Gestalt: Wenn für
\mathl{f,g \in R}{} gilt, dass
\mathl{f(P)=g(P)}{} ist für alle
\mathl{P \in K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{,} so ist
\mathl{f=g}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man beschreibe zu einer kommutativen $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} $R$ von endlichem Typ die \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{,} die zum \definitionsverweis {Strukturhomomorphismus}{}{} der Algebra gehört.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{R,S,T}{} kommutative $K$-\definitionsverweis {Algebren von endlichem Typ}{}{} und \maabb {\varphi} {R} {S } {} und \maabb {\psi} {S} {T } {} seien $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismen}{}{.} Man zeige, dass für die zugehörigen \definitionsverweis {Spektrumsabbildungen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( \psi \circ \varphi )^* }
{ =} { \varphi^* \circ \psi^* }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. Ferner zeige man, dass zur Identität \maabb {\operatorname{Id}} {R} {R } {} auch $\operatorname{Id}^*$ die Identität ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel von zwei kommutativen $K$-\definitionsverweis {Algebren}{}{} $R,S$ \definitionsverweis {von endlichem Typ}{}{} und einer \definitionsverweis {stetigen Abbildung}{}{} zwischen den zugehörigen $K$-\definitionsverweis {Spektren}{}{,} die nicht von einem $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} herrühren kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $R$ eine kommutative $K$-\definitionsverweis {Algebra von endlichem Typ}{}{,} und sei
\mathl{F \in R}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi^*} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } } { {\mathbb A}^{1}_{K} } {} die zum \definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{} gehörende \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\varphi^*)^{-1} (0) }
{ =} { V(F) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein Körper und sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra von endlichem Typ mit der \definitionsverweis {Reduktion}{}{}
\mathl{S=R_{\rm red}}{.} Zeige, dass es eine natürliche Homöomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } }
{ \cong} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein Körper, $R$ eine endlich erzeugte $K$-Algebra, sei ${\mathfrak a} \subseteq R$ ein Ideal und sei $X=K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }$. In welcher Beziehung stehen die beiden Aussagen
\mathdisp {V( {\mathfrak a}) = \emptyset \text{ und } {\mathfrak a} \text{ ist das Einheitsideal}} { }
und die beiden Aussagen
\mathdisp {V( {\mathfrak a}) = X \text{ und } {\mathfrak a} \text{ ist nilpotent}} { }
zueinander. Zeige, dass die Antwort davon abhängt, ob $K$ algebraisch abgeschlossen ist oder nicht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathl{F_i \in K[X_1 , \ldots , X_n]}{} \definitionsverweis {Polynome}{}{} für
\mathl{i=1 , \ldots , m}{.} Es sei \maabbeledisp {\varphi} {K[Y_1 , \ldots , Y_m]} { K[X_1 , \ldots , X_n] } {Y_i} { F_i } {,} der zugehörige \definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi^*} { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } = K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[X_1 , \ldots , X_n] \right) } } { { {\mathbb A}_{ K }^{ m } }=K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[Y_1 , \ldots , Y_m] \right) } } {} \zusatzklammer {über die Identifizierung aus Lemma 12.3} {} {} mit der direkten \definitionsverweis {polynomialen Abbildung}{}{}
\mathdisp {(x_1 , \ldots , x_n) \longmapsto (F_1(x_1 , \ldots , x_n) , \ldots , F_m(x_1 , \ldots , x_n))} { }
übereinstimmt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Welche \anfuehrung{Funktoren}{} in der Mathematik kennen Sie?

}
{} {}

Bei den folgenden Aufgaben betrachten wir zu einem beliebigen topologischen Raum \zusatzklammer {Mannigfaltigkeit, Teilmenge des $\R^n$, reelles Intervall} {} {} den Ring der stetigen reellwertigen Funktionen darauf. Dabei sollte man die Räume in Analogie zu den $K$-Spektren und die Funktionenringe in Analogie zu den \zusatzklammer {Koordinaten} {} {-} ringen sehen.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R }
{ =} {C(X, \R) }
{ =} {{ \left\{ f:X \longrightarrow \R \mid f \text{ stetige Abbildung} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten den Ring
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{C(\R,\R) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {stetigen Funktionen}{}{} von $\R$ nach $\R$. Handelt es sich um einen \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge. Zeige, dass im Ring der \definitionsverweis {stetigen Funktionen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R }
{ =} {C(\R,\R) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Teilmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I }
{ =} { { \left\{ f \in R \mid f(x) = 0 \text{ für alle } x \in T \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten das Ideal zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ = }{ \{0\} }
{ \subseteq }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} im Sinne von Aufgabe 12.20. Ist dies ein \definitionsverweis {Hauptideal}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} und
\mathl{R=\operatorname{C}^0 \, (X, \R)}{} der Ring der stetigen Funktionen auf $X$. Es sei
\mathl{T \subseteq X}{} eine Teilmenge. Zeige, dass die Teilmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I }
{ =} { { \left\{ f \in R \mid f\vert_T=0 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$ ist. Definiere einen \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {R/I} {\operatorname{C}^0 \, (T, \R) } {.} Ist dieser immer injektiv? Surjektiv?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {X} {und} {Y} {} \definitionsverweis {topologische Räume}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {X} {Y } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.} Zeige, dass dies einen \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {} { C(Y, \R)} {C(X, \R) } {f} { f\circ \varphi } {,} induziert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ eine Teilmenge von $\R$ und $C(X, \R)$ der \definitionsverweis {Ring der stetigen Funktionen}{}{} von $X$ nach $\R$. Dann ist durch \maabbeledisp {\varphi} { C(\R, \R) } { C(X, \R) } {f} { f \vert_X } {,} ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} gegeben. \aufzaehlungzwei {Zeige, dass $\varphi$ genau dann \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist, wenn $X$ \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} ist. } {Für welche Mengen $X$ ist $\varphi$ \definitionsverweis {injektiv}{}{?} }

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $K$ ein unendlicher Körper und $R$ eine kommutative $K$-\definitionsverweis {Algebra von endlichem Typ}{}{,} und sei
\mathl{F \in R}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi^*} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } } { {\mathbb A}^{1}_{K} } {} die zum \definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{} gehörende \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{} Zeige, dass $F$ genau dann konstant ist, wenn $\varphi^*$ konstant ist.

}
{Man mache sich dabei auch die unterschiedlichen Bedeutungen von \anfuehrung{konstant}{} klar.} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Man gebe ein Beispiel von zwei \definitionsverweis {integren}{}{} $K$-\definitionsverweis {Algebren von endlichem Typ}{}{} $R$ und $S$ und einem $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} \maabb {\varphi} {R} {S } {,} der kein \definitionsverweis {Ringisomorphismus}{}{} ist, wo aber die induzierte \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{} \maabb {\varphi^*} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) } } {K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } } {} ein \definitionsverweis {Homöomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und seien $R$ und $S$ integre $K$-Algebren von endlichem Typ. Es sei \maabb {\varphi} {R} {S } {} ein endlicher injektiver $K$-Algebrahomomorphismus. Zeige, dass dann \maabb {\varphi^*} {K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) }} {K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } } {} surjektiv ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $0$. Es sei eine \definitionsverweis {polynomiale Abbildung}{}{} der Form \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb A}^{1}_{K} } { {\mathbb A}^{2}_{K} } {t} { (t^2, \psi(t)) } {,} gegeben (mit
\mathl{\psi(t) \in K[t]}{)} Zeige, dass $\varphi$ genau dann injektiv ist, wenn $\psi$ die Form hat
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi(t) }
{ =} { at^n+\theta(t) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mathl{a\neq 0}{,} $n$ ungerade und $\theta(t)$ ein Polynom, in dem nur geradzahlige Exponenten auftreten.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Betrachte das Ideal
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ =} { { \left( U^5-V^3, U^{11}-W^3,V^{11}-W^5 \right) } }
{ \subseteq} { K[U,V,W] }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und das zugehörige Nullstellengebilde
\mathl{Z=V({\mathfrak a} ) \subseteq { {\mathbb A}_{ K }^{ 3 } }}{.} Zeige, dass
\mathl{W-U^2V}{} zum Radikal von ${\mathfrak a}$ gehört. Zeige damit, dass $Z$ isomorph zu einer ebenen algebraischen Kurve ist.

}
{} {Man benutze, dass das Radikal der Durchschnitt der Primideale ist, die es umfassen.}