Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 18/latex

\setcounter{section}{18}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Ein Geldfälscher stellt $3$- und $7$-Euro-Scheine her. \aufzaehlungdrei{Zeige, dass es nur endlich viele Beträge gibt, die er nicht \zusatzklammer {exakt} {} {} begleichen kann. Was ist der höchste Betrag, den er nicht begleichen kann? }{Was ist der kleinste Betrag, den er auf zwei verschiedene Weisen begleichen kann? }{Beschreibe die Menge $M$ der vollen Eurobeträge, die er mit seinen Scheinen begleichen kann. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Ein Geldfälscher stellt $4$-, $9$- und $11$-Euro-Scheine her. \aufzaehlungdrei{Zeige, dass es nur endlich viele Beträge gibt, die er nicht \zusatzklammer {exakt} {} {} begleichen kann. Was ist der höchste Betrag, den er nicht begleichen kann? }{Was ist der kleinste Betrag, den er auf zwei verschiedene Weisen begleichen kann? }{Beschreibe explizit die Menge $M$ der vollen Eurobeträge, die er mit seinen Scheinen begleichen kann. }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Ein Geldfälscher stellt $7$-, $11$-, $13$- und $37$-Euro-Scheine her. Wie viele volle Eurobeträge kann er mit seinen Scheinen nicht bezahlen, und was ist der größte Betrag, den er nicht begleichen kann? Bestimme die \definitionsverweis {Multiplizität}{}{} und die \definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{} des zugehörigen numerischen Monoids.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme für das numerische Monoid $M \subseteq \N$, das durch $4,7$ und $17$ erzeugt wird, die \definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{,} die \definitionsverweis {Multiplizität}{}{,} die \definitionsverweis {Führungszahl}{}{} und den \definitionsverweis {Singularitätsgrad}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für das numerische Monoid $M$, das durch $5,7$ und $9$ erzeugt wird, die \definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{,} die \definitionsverweis {Multiplizität}{}{,} die \definitionsverweis {Führungszahl}{}{} und den \definitionsverweis {Singularitätsgrad}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{M \subseteq \N}{} ein numerisches Monoid, das von teilerfremden natürlichen Zahlen erzeugt sei. Zeige, dass die \definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{} maximal gleich der \definitionsverweis {Multiplizität }{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{M \subseteq \N}{} ein durch teilerfremde Zahlen erzeugtes numerisches Monoid, bei dem die \definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{} gleich der \definitionsverweis {Multiplizität}{}{} ist. Zeige, dass dann der maximale Erzeuger aus einem minimalen Erzeugendensystem größer oder gleich der \definitionsverweis {Führungszahl}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel eines numerischen Monoids $M$ mit Multiplizität $3$ und Einbettungsdimension $3$ an, bei dem die Führungszahl prim ist und nicht zum minimalen Erzeugendensystem gehört.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{M \subseteq \N}{} ein numerisches Monoid, das von teilerfremden Elementen erzeugt werde. Es sei vorausgesetzt, dass die \definitionsverweis {Multiplizität}{}{} von $M$ mit der \definitionsverweis {Führungszahl}{}{} von $M$ übereinstimmt. Bestimme ein minimales Erzeugendensystem und die \definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{} von $M$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die Neilsche Parabel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C }
{ =} {V(Y^2-X^3) }
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C}} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und den Punkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} {(1,1) }
{ \in} {C }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass man das maximale Ideal zu $P$, also das Ideal
\mathl{(X-1,Y-1)}{} im Koordinatenring
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{{\mathbb C} [X,Y]/ (Y^2-X^3) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} nicht als \definitionsverweis {Radikal}{}{} zu einem einzigen Element
\mathl{f \in R}{} beschreiben kann.

}
{} {}

Die vorstehende Aufgabe zeigt, dass jede Kurve $D$, die die Neilsche Parabel im Punkt
\mathl{(1,1)}{} trifft, sie noch in mindestens einem weiteren Punkt trifft. Dies verallgemeinert auch Aufgabe 1.10.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ ein numerisches Monoid. Bestimme die \definitionsverweis {Filter}{}{} in $M$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ ein \definitionsverweis {numerisches Monoid}{}{} und $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Zeige, dass es ein
\mathl{f \in K[M]}{} derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K[M]_f }
{ = }{ K[X]_X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ ein \definitionsverweis {numerisches Monoid}{}{,} $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{K[M]}{} der zugehörige \definitionsverweis {Monoidring}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K[M] }
{ \cong }{ K[\N] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann gilt, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ = }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe ein Beispiel für einen \definitionsverweis {injektiven}{}{} \definitionsverweis {Monoidhomomorphismus}{}{} \maabb {} {M} {N } {} zwischen kommutativen \definitionsverweis {Monoiden}{}{} derart an, dass die zugehörige \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{} nicht \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ ein \definitionsverweis {kommutatives Monoid}{}{} und sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} \aufzaehlungdrei{Zeige, dass durch die \definitionsverweis {Diagonalabbildung}{}{} \maabbeledisp {\triangle} {M} { M \times M } {m} { (m,m) } {,} ein \definitionsverweis {Monoidhomomorphismus}{}{} gegeben ist. }{Beschreibe den zugehörigen $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {K[M] } { K[M \times M] \cong K[M] \otimes K[M] } {.} }{Beschreibe die zugehörige \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{} \maabbdisp {} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[M] \right) } \times K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[M] \right) } } { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[M] \right) } } {.} Zeige insbesondere, dass dadurch
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[M] \right) }}{} selbst zu einem kommutativen Monoid wird. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Spezialisiere Aufgabe 18.15 auf die Monoide
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ = }{ \N, \Z, \N^r, \Z^r }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ ein \definitionsverweis {kommutatives Monoid}{}{,} $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{P \in K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( M \right) }}{} ein fixierter Punkt. \aufzaehlungdrei{Zeige, dass es eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\Psi_P} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( M \right) } } { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( M \right) } } { Q} { Q \cdot P } {,} gibt. }{Beschreibe den zugehörigen $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} \maabb {} {K[M] } { K[M] } {.} }{Charakterisiere, für welche $P$ diese Abbildung \definitionsverweis {bijektiv}{}{} ist. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $M$ und $N$ \definitionsverweis {kommutative Monoide}{}{,} sei \maabb {\varphi} {M} {N } {} ein \definitionsverweis {Monoidhomomorphismus}{}{} und sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi^*} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( N \right) } } { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( M \right) } } {} ebenfalls ein Monoidhomomorphismus ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{a,b,c,d,r,s \geq 1}{} \definitionsverweis {natürliche Zahlen}{}{.} Wir betrachten die \definitionsverweis {stetig differenzierbare Kurve}{}{} \maabbeledisp {} {[0,1]} {\R^2 } {t} {(t^r,t^s) } {.} Berechne das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} längs dieses Weges zum \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
\mathdisp {F(x,y) = (x^ay^b ,x^c y^d)} { . }

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{6}
{

Es sei $M$ ein numerisches Monoid, das durch zwei teilerfremde Elemente
\mathl{d >e}{} erzeugt werde. Bestimme die \definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{,} die \definitionsverweis {Multiplizität}{}{,} die \definitionsverweis {Führungszahl}{}{} und den \definitionsverweis {Singularitätsgrad}{}{} von $M$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme für das numerische Monoid $M$, das durch
\mathl{3,7,9}{} und $11$ erzeugt wird, die \definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{,} die \definitionsverweis {Multiplizität}{}{,} die \definitionsverweis {Führungszahl}{}{} und den \definitionsverweis {Singularitätsgrad}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Klassifiziere sämtliche numerische Monoide $M$ \zusatzklammer {mit teilerfremden Erzeugern} {} {} mit \definitionsverweis {Führungszahl}{}{}
\mathl{f(M) \leq 6}{.} Man gebe jeweils die \definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{,} die Multiplizität und den Singularitätsgrad an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mathl{M \subseteq \N}{} ein numerisches Monoid und $K$ ein Körper. Definiere
\mathdisp {M_+= M \cap \N_+ \text{ und } n M_+ ={ \left\{ m \in M \mid \text{es gibt eine Darstellung } m = m_1+ \ldots +m_n \text{ mit } m_i \in M_+ \right\} }} { . }
Zeige, dass $nM_+$ \anfuehrung{Ideale}{} in $M$ sind, dass zu $M_+$ ein maximales Ideal ${\mathfrak m}$ in $K[M]$ gehört, und dass das zu $nM_+$ gehörige Ideal gleich ${\mathfrak m}^n$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $M,N$ numerische Monoide mit
\mathl{M \subseteq N}{.} Zeige, dass die zugehörige Spektrumsabbildung surjektiv ist.

}
{Es ist dabei hilfreich, Satz 18.10 zu verwenden.} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es seien $M,N$ numerische Monoide. Für welche der numerischen Invarianten $\nu$ (Multiplizität, Führungszahl, Singularitätsgrad, Einbettungsdimension) folgt aus
\mathl{M \subseteq N}{} die Abschätzung
\mathl{\nu(M) \geq \nu(N)}{?}

}
{(Beweis oder Gegenbeispiel)} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $M$ ein \definitionsverweis {numerisches Monoid}{}{,} das nicht isomorph zu $\N$ sei, und sei $K$ ein Körper. Zeige, dass es im Monoidring $K[M]$ \definitionsverweis {irreduzible Elemente}{}{} gibt, die nicht \definitionsverweis {prim}{}{} sind. Man gebe Elemente aus $K[M]$ mit zwei wesentlich verschiedenen Zerlegungen in irreduzible Elemente an.

}
{} {}