Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 19

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme Idealerzeuger für die durch

${\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{3}},\,t\longmapsto \left(t^{2},\,t^{3},\,t^{4}\right),$

gegebene monomiale Kurve.

Aufgabe

Bestimme Idealerzeuger für die durch

${\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{3}},\,t\longmapsto \left(t^{4},\,t^{5},\,t^{6}\right),$

gegebene monomiale Kurve.

In den folgenden Aufgaben besprechen wir eine algebraische Realisierung des Möbius-Bandes, die auf dem Konzept eines Geradenbündels beruht.

Ein Geradenbündel ${}L$ auf einer Varietät ${}U$ (über einem Körper ${}K$) ist eine Varietät ${}L$ zusammen mit einem Morphismus ${}p\colon L\rightarrow U$ und einer offenen affinen Überdeckung

${}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$

derart, dass es Isomorphismen

$\varphi _{i}\colon L{|}_{U_{i}}\longrightarrow U_{i}\times {\mathbb {A} }_{K}^{1}$

über ${}U_{i}$ derart gibt, dass zu ${}i,j$ die Übergangsabbildungen

$\varphi _{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\circ \varphi _{j}^{-1}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\colon U_{i}\cap U_{j}\times {\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow U_{i}\cap U_{j}\times {\mathbb {A} }_{K}^{1}$

linear sind, also auf der Ringebene durch ${}T\mapsto rT$ mit ${}r\in \Gamma (U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {O}})^{\times }$ gegeben sind.

Zu jeder Varietät ${}U$ gibt es das sogenannte triviale Geradenbündel ${}U\times {\mathbb {A} }_{K}^{1}$. Die Definition besagt, dass „lokal“ jedes Geradenbündel trivial ist, obwohl es „global“ keineswegs trivial sein muss.

Aufgabe

Es sei ${}U$ eine Varietät und ${}p\colon L\rightarrow U$ ein Geradenbündel über ${}U$. Zeige, dass zu jedem Punkt ${}P\in U$ die Faser ${}p^{-1}(P)$ isomorph zu einer affinen Geraden ${}{\mathbb {A} }_{K}^{1}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}U$ eine Varietät und ${}p\colon L\rightarrow U$ ein Geradenbündel über ${}U$. Zeige, dass es zu jedem Punkt ${}P\in U$ eine wohldefinierte ${}K$- Vektorraumstruktur auf der Faser ${}p^{-1}(P)$ gibt.

Aufgrund der vorstehenden Aussage besitzt jedes Geradenbündel einen Nullschnitt, der über jedem Basispunkt ${}P\in U$ aus dem Nullpunkt in der Faser besteht.

Aufgabe

Es sei ${}U$ eine reelle Varietät, ${}p\colon L\rightarrow U$ das triviale Geradenbündel und ${}Z\subset L$ der Nullschnitt. Zeige, dass ${}L\setminus Z$ in der reellen Topologie nicht zusammenhängend ist.

Aufgabe

Es sei

${}U=D(X,Y)={\mathbb {A} }_{K}^{2}\setminus \{(0,0)\}\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,$

und

${}L=V(XU+YV)\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{4}}\,$

zusammen mit der natürlichen Abbildung ${}p\colon L{|}_{U}\rightarrow U$. Zeige, dass ${}L{|}_{U}$ das triviale Geradenbündel ist. Ist

$p\colon L\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2}$

ein Geradenbündel?

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}\neq 2$. Wir betrachten den kommutativen Ring

${}S=K[X,Y]/{\left(X^{2}+Y^{2}-1\right)}\,$

und die ${}S$- Algebra

${}{\begin{aligned}B&=K[X,Y,Z,W]/{\left(X^{2}+Y^{2}-1,(1-X)Z-YW,YZ-(1+X)W\right)}\\&=S[Z,W]/{\left((1-X)Z-YW,YZ-(1+X)W\right)}.\end{aligned}}$

Es sei ${}U=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}$ und ${}L=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(B\right)}$ mit der zugehörigen Spektrumsabbildung

$p\colon L=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(B\right)}\longrightarrow U=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}.$

1. Zeige, dass ${}D(1-X)$ und ${}D(1+X)$ eine offene affine Überdeckung von ${}U$ ist.
2. Zeige

   ${}B_{1-X}\cong S_{1-X}[W]\,$

   und

   ${}B_{1+X}\cong S_{1+X}[Z]\,$

3. Zeige, dass ${}L$ ein Geradenbündel über ${}U$ ist.

Aufgabe *

Wir betrachten die Situation aus Aufgabe 19.7 zu ${}K=\mathbb {R}$. Es sei

$\varphi \colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} \!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)},\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t\right),$

die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises. Zeige, dass das Bild von

$\psi \colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{4},\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t,\,\cos {\frac {1}{2}}t,\,\sin {\frac {1}{2}}t\right),$

in ${}\mathbb {R} \!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(B\right)}$ landet, dass ${}\varphi =p\circ \psi$ gilt, und dass das Bild von ${}\psi$ niemals den Nullschnitt trifft.

Aufgabe

Wir betrachten die Situation aus Aufgabe 19.7 zu ${}K=\mathbb {R}$. Zeige, dass ${}L$ ohne den Nullschnitt, aufgefasst mit der metrischen Topologie, zusammenhängend ist. Folgere, dass dieses Geradenbündel nicht trivial ist.

Aufgabe

Es sei

${}U=D(X,Y)={\mathbb {A} }_{K}^{2}\setminus \{(0,0)\}\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,$

und

${}L=V(XU+YV-1)\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{4}}\,$

zusammen mit der natürlichen Abbildung ${}p\colon L\rightarrow U$. Zeige, dass diese Abbildung die Eigenschaft aus Aufgabe 19.3 erfüllt, aber nicht die Eigenschaft aus Aufgabe 19.4.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass in ${}K[X,Y,Z,W]$ die drei Ideale

${}{\mathfrak {a}}={\left(Z^{2}+W^{2}-1,\,X-2Z^{2}+1,\,Y-2ZW\right)}\,,$

${}{\mathfrak {b}}={\left(Z^{2}+W^{2}-1,\,X^{2}+Y^{2}-1,\,(1-X)Z-YW,\,YZ-(1+X)W\right)}\,$

und

${}{\mathfrak {c}}={\left(Z^{2}+W^{2}-1,\,(1-X)Z-YW,\,YZ-(1+X)W\right)}\,$

übereinstimmen.

Aufgabe *

Zeige, dass durch

$\varphi \colon V(Z^{2}+W^{2}-1)\longrightarrow V(X^{2}+Y^{2}-1),\,(Z,W)\longmapsto (Z^{2}-W^{2},2ZW)=(X,Y).$

ein Morphismus des Einheitskreises in sich gegeben ist. Zeige, dass das Urbild zu jedem Punkt ${}P\in V(X^{2}+Y^{2}-1)$ aus zwei Punkten besteht.

Aufgabe

Es sei

${}S^{1}=V(X^{2}+Y^{2}-1)\,$

der reelle Einheitskreis. Zeige, dass zu jedem ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ die Abbildung

$S^{1}\longrightarrow S^{1},\,\left(\cos t,\,\sin t\right)\longmapsto \left(\cos nt,\,\sin nt\right),$

ein algebraischer Morphismus ist.

Tipp: Betrachte die Abbildung auf dem komplexen Einheitskreis.

Aufgabe

Es sei ${}R\subseteq S$ eine ganze Erweiterung von Integritätsbereichen und sei ${}F\subseteq R$ ein multiplikatives System. Zeige, dass dann auch die zugehörige Erweiterung ${}R_{F}\subseteq S_{F}$ ganz ist.

Aufgabe *

Es seien ${}R$ und ${}S$ Integritätsbereiche und sei ${}R\subseteq S$ eine ganze Ringerweiterung. Es sei ${}f\in R$ ein Element, das in ${}S$ eine Einheit ist. Zeige, dass ${}f$ dann schon in ${}R$ eine Einheit ist.

Aufgabe

Es sei ${}R\subseteq S$ eine ganze Ringerweiterung und sei ${}f\in R$. Zeige: Wenn ${}f$, aufgefasst in ${}S$, eine Einheit ist, dann ist ${}f$ eine Einheit in ${}R$.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer ganzen Ringerweiterung ${}R\subseteq S$, wo es einen Nichtnullteiler ${}f\in R$ gibt, der ein Nullteiler in ${}S$ wird.

Aufgabe

Es sei

${}P=X^{2}-3X+7\,$

und

${}Q=Y^{3}-Y^{2}+4Y-5\,.$

Begründe, dass die Ringerweiterung

${}\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Z} [X,Y]/(P,Q)\,$

ganz ist und finde eine Ganzheitsgleichung für ${}x+y$ und für ${}xy$ (kleine Buchstaben bezeichnen die Restklassen der Variablen).

Aufgabe

Es sei ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung zwischen endlichen kommutativen Ringen ${}R$ und ${}S$. Zeige, dass eine ganze Ringerweiterung vorliegt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und

${}S=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\,$

eine (als Algebra) endlich erzeugte ${}R$- Algebra, die ganz über ${}R$ sei. Zeige, dass ${}S$ ein endlich erzeugter ${}R$- Modul ist.

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein ganzer Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen und ${}R\rightarrow R'$ ein weiterer Ringhomomorphismus. Zeige, dass auch

$\varphi '\colon R'\longrightarrow R'\otimes _{R}S,\,f\longmapsto f\otimes 1,$

ganz ist.

Aufgabe

1. Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich. Zeige, dass ${}R$ ganz-abgeschlossen im Polynomring ${}R[X]$ ist.
2. Man gebe ein Beispiel für einen kommutativen Ring ${}R$, der im Polynomring nicht ganz-abgeschossen ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}M\subset \mathbb {N}$ das durch ${}3,5,7$ erzeugte numerische Untermonoid. Bestimme eine Restklassendarstellung des zugehörigen Monoidringes.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}R,S,T$ kommutative Ringe und seien ${}\varphi :R\rightarrow S$ und ${}\psi :S\rightarrow T$ Ringhomomorphismen derart, dass ${}S$ ganz über ${}R$ und ${}T$ ganz über ${}S$ ist. Zeige, dass dann auch ${}T$ ganz über ${}R$ ist.

(Vergleiche Aufgabe 10.26).