Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 25/latex

\setcounter{section}{25}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme für die ebene algebraische Kurve
\mathdisp {V { \left( X^3+Y^2-XY+X \right) }} { }
eine nichtkonstante Potenzreihenlösung $X=F(Y)$ im Nullpunkt bis zum sechsten Glied.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme für die ebene algebraische Kurve
\mathdisp {V(X^2Y+X^2+Y^2-5XY+Y)} { }
eine nicht-konstante Potenzreihenlösung $Y=F(X)$ im Nullpunkt bis zur fünften Ordnung.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die Kardioide
\mathdisp {V((X^2+Y^2)^2- 2X(X^2+Y^2)-Y^2)} { }
im Punkt $(2,0)$. Bestimme eine formale Parametrisierung (bis zum fünften Term) der Kurve in diesem Punkt in Abhängigkeit von einem Tangentenparameter.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die durch
\mathl{y=2x^4+3x^2-x+1}{} gegebene Kurve im Punkt
\mathl{P=(1,5)}{} in den in Aufgabe 22.9 gefundenen Koordinaten. Bestimme die Potenzreihe für die Kurve in $P$ entlang der Tangente.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Eine
\definitionswortenp{formale Laurentreihe mit endlichem Hauptteil}{} ist eine unendliche Summe der Form
\mathdisp {F= \sum_{n=k}^\infty a_n T^n \text{ mit } a_n \in K \text{ und } k \in \Z} { . }
Zeige, dass der Ring dieser formalen Reihen \zusatzklammer {mit geeigneten Ringoperationen} {} {} isomorph zum \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} des \definitionsverweis {Potenzreihenringes}{}{}
\mathl{K[ \![T]\! ]}{} ist.

}
{} {}

Die folgenden Aufgaben beschäftigen sich mit der Komplettierung eines lokalen Ringes.


\inputaufgabe
{}
{

Betrachte zu einem lokalen Ring $R$ mit maximalem Ideal ${\mathfrak m}$ das Diagramm
\mathdisp {\longrightarrow R/{\mathfrak m}^4 \longrightarrow R/{\mathfrak m}^3 \longrightarrow R/{\mathfrak m}^2 \longrightarrow R/{\mathfrak m}} { . }
Dabei sind die Abbildungen die kanonischen Projektionen
\mathl{\varphi_{n}: R/{\mathfrak m}^{n+1} \rightarrow R/{\mathfrak m}^n}{}, die durch die Idealinklusionen
\mathl{{\mathfrak m}^{n+1} \subseteq {\mathfrak m}^n}{} induziert werden. Eine Folge von Elementen
\mathdisp {a_n \in R/{\mathfrak m}^n} { }
heißt \stichwort {verträglich} {,} wenn
\mathl{\varphi_n(a_{n+1}) = a_n}{} für alle $n$ gilt. Definiere eine Ringstruktur auf der Menge aller verträglichen Elemente (diesen Ring nennt man die
\definitionswortenp{Komplettierung}{} von $R$.) Zeige ferner, dass es einen kanonischen Ringhomomorphismus von $R$ in die Komplettierung gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein eindimensionaler lokaler noetherscher kommutativer Ring. Zeige, dass die kanonische Abbildung von $R$ in die Komplettierung von $R$ injektiv ist.

}
{Bemerkung: Die Injektivität gilt für jeden noetherschen lokalen Ring, ist aber schwieriger zu beweisen.} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $I$ ein Ideal. Zeigen Sie, dass durch
\mathdisp {\{x + I^n \, \vert \, n \in \N \} \quad (x \in R)} { }
Umgebungsbasen definiert werden. Zeigen Sie außerdem, dass die auf $R$ induzierte Topologie genau dann hausdorffsch ist, wenn
\mathl{\bigcap_n I^n = \{0\}}{.}

}
{Bemerkung: Die Komplettierung eines lokalen Ringes bezüglich seines maximalen Ideals entspricht dann genau der (topologischen) Komplettierung bezüglich dieser Topologie.} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Betrachte den Einheitskreis
\mathl{X^2+Y^2=1}{} im Punkt $(1,0)$. Bestimme Potenzreihen $G$ und
\mathl{H \in K[ \![T]\! ]}{} mit den Anfangsbedingungen
\mathl{a_0=1,\, a_1=0,\, b_0=0,\, b_1=1}{} und mit
\mathl{G(T)^2+H(T)^2=1}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Betrachte die Neilsche Parabel
\mathl{C=V(Y^3-X^2)}{} im Punkt $(1,1)$. Finde eine Parametrisierung der Kurve in diesem Punkt mit Potenzreihen (bis zum fünften Glied) derart, dass eine Potenzreihe davon ein lineares Polynom ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $K[T]$ der Polynomring in einer Variablen. Es sei $R$ die Lokalisierung von $K[T]$ am maximalen Ideal
\mathl{{\mathfrak m}=(T)}{.} Zeige, dass die Komplettierung von $R$ isomorph zum \definitionsverweis {Potenzreihenring}{}{} $K[ \![T]\! ]$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R }
{ = }{ K[ \![T]\! ] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Potenzreihenring}{}{} Zeige, dass es in $R$ keine Quadratwurzel für $T$ gibt. Zeige ferner, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ = }{ \Z/(7) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das Element
\mathl{T+2}{} eine Quadratwurzel in $R$ besitzt, und bestimme die ersten fünf Koeffizienten von einer Quadratwurzel davon.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei
\mathl{F \in K[X,Y]}{} ein irreduzibles Polynom und
\mathl{R=K[X,Y]/(F)}{} der integre Koordinatenring der ebenen Kurve
\mathl{C=V(F)}{.} Es sei
\mathl{R \rightarrow S=R^{\operatorname{norm} }}{} die Normalisierung von $R$ und es sei
\mathl{R \rightarrow K[ \![T]\! ]}{} der Ringhomomorphismus zu einer nichtkonstanten formalen Potenzreihenlösung der Kurve. Zeige, dass es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
\mathl{S \rightarrow K[ \![T]\! ]}{} gibt derart, dass das Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix}R & \stackrel{ }{\longrightarrow} & S & \\ & \searrow & \downarrow & \\ & & K[ \![T]\! ] & \!\!\!\!\! \!\!\! \\ \end{matrix}} { }
kommutiert.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgabe zum Hochladen}

\inputaufgabe
{3}
{

Zeichne mittels eines geeigneten Programms eine der Beispielkurven der Vorlesung sowie die verschiedenen dort berechneten polynomialen Approximationen.

}
{} {}