Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 24

Übungsaufgaben

Aufgabe

Beschreibe ein Beispiel einer glatten Kurve ${}C\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ mit einer Parametrisierung, deren Differential an mindestens einem Punkt verschwindet.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}R[\![T]\!]$ der Potenzreihenring. Zeige, dass die Abbildung

$R[\![T]\!]\longrightarrow R[\![T]\!],\,F\longmapsto a_{0},$

die einer Potenzreihe ihren konstanten Term zuordnet, ein ${}R$- Algebrahomomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K[\![T]\!]$ der Potenzreihenring. Man gebe die inverse Potenzreihe zu ${}1-T$ an.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass der Potenzreihenring ${}R[\![T_{1},\ldots ,T_{n}]\!]$ ein lokaler Ring ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und es sei ${}R[[X_{1},\ldots ,X_{n}]]$ der Potenzreihenring über ${}R$. Es sei ${}{\frac {\partial }{\partial X_{1}}}$ die (formale) partielle Ableitung bezüglich ${}X_{1}$, also die Abbildung

$R[[X_{1},\ldots ,X_{n}]]\longrightarrow R[[X_{1},\ldots ,X_{n}]],\,f\longmapsto {\frac {\partial f}{\partial X_{1}}}.$

Zeige, dass dies eine ${}R$- Derivation ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}{\mathfrak {m}}=(T)\subset K[T]$ das zum Nullpunkt gehörige maximale Ideal mit der Lokalisierung ${}R=K[T]_{\mathfrak {m}}$. Definiere einen ${}K$- Algebrahomomorphismus

$\varphi \colon R\longrightarrow K[\![T]\!]$

mit ${}\varphi (T)=T$, wobei ${}K[\![T]\!]$ den Ring der formalen Potenzreihen bezeichnet.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}{\mathfrak {m}}=(T)\subset K[T]$ das zum Nullpunkt gehörige maximale Ideal mit der Lokalisierung ${}R=K[T]_{\mathfrak {m}}$ und sei

$R\longrightarrow K[\![T]\!]$

der ${}K$- Algebrahomomorphismus aus Aufgabe 24.6. Zeige, dass sich unter dieser Abbildung die Ordnung von Elementen nicht ändert.

Aufgabe

Berechne die ersten fünf Glieder (bis einschließlich ${}c_{4}$) der eingesetzten Potenzreihe ${}F(G)$ im Sinne von Definition 24.8.

Die folgende Aufgabe zeigt, dass die Bedingung an die eingesetzte Potenzreihe in Lemma 24.9 notwendig ist.

Aufgabe

Zeige, dass man die konstante Potenzreihe ${}G=1$ nicht sinnvoll in beliebige Potenzreihen einsetzen kann.

Aufgabe

Es sei ${}M$ ein kommutatives Monoid und sei ${}\delta \colon M\rightarrow \mathbb {N}$ ein Monoidhomomorphismus mit der Eigenschaft, dass zu jedem ${}d\in \mathbb {N}$ das Urbild ${}M_{d}={\left\{m\in M\mid \delta (m)=d\right\}}$ endlich sei. Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass

${}R[[M]]={\left\{\sum _{m\in M}a_{m}T^{m}\mid a_{m}\in R\right\}}\,$

mit naheliegenden Verknüpfungen eine kommutative ${}R$- Algebra ist, die den Monoidring ${}R[M]$ enthält.

Aufgabe

Es sei ${}M=\mathbb {N} ^{r}$ und sei ${}\delta \colon \mathbb {N} ^{r}\rightarrow \mathbb {N}$ die Standardgraduierung auf ${}\mathbb {N} ^{r}$, also die durch ${}e_{i}\mapsto 1$ gegebene Abbildung. Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. und sei ${}R[[\mathbb {N} ^{r}]]$ wie in Aufgabe 24.10 definiert. Zeige

${}R[[\mathbb {N} ^{r}]]=R[[T_{1},\ldots ,T_{r}]]\,.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für ein irreduzibles reelles Polynom ${}F\in \mathbb {R} [X,Y]$ derart, dass beide partiellen Ableitungen übereinstimmen und nicht konstant sind. Zeige, dass dies über ${}{\mathbb {C} }$ nicht möglich ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die Kurve ${}C=V(X^{2}-Y^{2}-Y^{3})$ mit der in Beispiel 24.2 besprochenen Parametrisierung. Bestimme die singulären Punkte der Kurve zusammen mit den Multiplizitäten und Tangenten. Berechne ebenfalls die Bildpunkte und die Tangenten für die Parameterwerte ${}t=-1,0,1$.

Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe eine formale Potenzreihe über ${}{\mathbb {C} }$, die in keiner Umgebung des Nullpunktes konvergiert.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper. Vergleiche die beiden Ringe ${}(K[X])[\![Y]\!]$ und ${}(K[\![Y]\!])[X]$.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}R$ ein noetherscher kommutativer Ring. Man zeige, dass ${}R[[T_{1},\ldots ,T_{n}]]$ noethersch ist.

Hinweis: Lassen Sie sich vom Beweis des Hilbertschen Basissatzes inspirieren!