Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 23

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über ${}K$ und ${}{\frac {\partial }{\partial X_{1}}}$ die (formale) partielle Ableitung bezüglich ${}X_{1}$, also die Abbildung

$K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n}],\,f\longmapsto {\frac {\partial f}{\partial X_{1}}}.$

Zeige, dass dies eine ${}K$- Derivation ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}P=R[X_{1},\ldots ,X_{m}]$ der Polynomring darüber in ${}m$ Variablen. Es sei ${}{\mathfrak {m}}=(X_{1},\ldots ,X_{m})$ das von den Variablen erzeugte Ideal. Zeige, dass ${}{\mathfrak {m}}^{n}=P_{\geq n}$ ist, wobei ${}P_{\geq n}$ das Ideal in ${}P$ bezeichnet, das von allen homogenen Polynomen vom Grad ${}\geq n$ erzeugt wird.

Aufgabe

Betrachte das Achsenkreuz ${}V(xy)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ und den zum Nullpunkt gehörigen lokalen Ring ${}R$ mit maximalem Ideal ${}{\mathfrak {m}}$. Beschreibe explizit eine ${}K$-Basis für die Restklassenringe ${}R/{\mathfrak {m}}^{n}$ und bestimme die Dimensionen davon.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring mit zwei Idealen ${}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R$. Es sei ${}S=R/{\mathfrak {b}}$ und ${}{\tilde {\mathfrak {a}}}={\mathfrak {a}}S$ das Bildideal. Zeige, dass ${}{\mathfrak {a}}^{n}S={\tilde {\mathfrak {a}}}^{n}$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}F=F_{m}+\cdots +F_{d}$ die homogene Zerlegung eines Polynoms ${}F\in K[X,Y]$ mit ${}m\leq d$ und es sei ${}{\mathfrak {m}}=(X,Y)$. Zeige, dass für jedes ${}n\geq m$ die Multiplikationsabbildung

$K[X,Y]\longrightarrow K[X,Y],\,G\longmapsto FG,$

einen injektiven, wohldefinierten ${}K[X,Y]$- Modulhomomorphismus

$K[X,Y]/{\mathfrak {m}}^{n-m}\longrightarrow K[X,Y]/{\mathfrak {m}}^{n}$

festlegt.

Aufgabe *

Es sei ${}e\in \mathbb {N} _{+}$ und sei ${}M:=\{0\}\cup \mathbb {N} _{\geq e}\subseteq \mathbb {N}$.

1. Bestimme ${}nM_{+}$ für ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.
2. Bestimme ${}{\#\left(M\setminus nM_{+}\right)}$.
3. Es sei ${}K$ ein Körper und setze ${}R=K[M]_{\mathfrak {m}}$ mit ${}{\mathfrak {m}}=(M_{+})\subseteq K[M]$. Bestimme ${}\dim _{K}{\left(R/{\mathfrak {m}}^{n}\right)}$.

Aufgabe *

Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms

$X^{3}+XY^{2}\in {\mathbb {C} }[X,Y]$

und bestimme die Singularitäten der zugehörigen affinen Kurve samt ihren Multiplizitäten und Tangenten.

Aufgabe *

Bestimme die Multiplizität und die Tangenten im Nullpunkt ${}(0,0)$ der ebenen algebraischen Kurve

${}C=V{\left(Y^{4}+X^{3}+3XY^{2}+2X^{2}Y\right)}\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}\,.$

Aufgabe *

Bestimme über die partiellen Ableitungen für das durch das Polynom

$V^{3}+U^{2}V-2UV+2U^{2}-4U-2V$

gegebene Nullstellengebilde einen singulären Punkt. Führe eine Koordinatentransformation durch, die diesen Punkt in den Nullpunkt überführt. Bestimme die Multiplizität und die Tangenten in diesem Punkt.

Aufgabe

Bestimme die Singularitäten (mit Multiplizitäten und Tangenten) der durch

$V{\left({\left(X^{2}+Y^{2}\right)}^{2}-2X{\left(X^{2}+Y^{2}\right)}-Y^{2}\right)}$

gegebenen Kardioide.

Aufgabe

Berechne für das durch die Erzeuger ${}4$ und ${}9$ gegebene Monoid ${}M\subseteq \mathbb {N}$ die in den Abschätzungen von Lemma 23.8 auftretenden Ausdrücke bis ${}n\leq 6$.

In einigen Aufgaben wird die Krull-Dimension eines kommutativen Ringes verwendet. Da wir uns hauptsächlich für Kurven interessieren, denen eindimensionale Ringe entsprechen, werden wir keine systematische Dimensionstheorie entwickeln.

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Eine Kette aus Primidealen

${}{\mathfrak {p}}_{0}\subset {\mathfrak {p}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathfrak {p}}_{n}\,$

nennt man Primidealkette der Länge ${}n$ (es wird also die Anzahl der Inklusionen gezählt, nicht die Anzahl der beteiligten Primideale). Die Dimension (oder Krulldimension) von ${}R$ ist das Supremum über alle Längen von Primidealketten. Sie wird mit ${}\operatorname {dim} {\left(R\right)}$ bezeichnet.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich, der kein Körper sei. Zeige, dass die Krulldimension von ${}R$ gleich eins ist.

Aufgabe

Wir betrachten das maximale Ideal

${}{\mathfrak {m}}=(X_{1},\ldots ,X_{n})\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$

im Polynomring über einem Körper ${}K$ und seine Potenzen ${}{\mathfrak {m}}^{d}$. Zeige, dass die Monome

$X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}},\sum _{i=1}^{n}\nu _{i}<d,$

eine ${}K$- Basis des Restklassenringes ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {m}}^{d}$ bildet.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne für das durch die Erzeuger ${}5,8,11$ gegebene Monoid ${}M\subseteq \mathbb {N}$ die in den Abschätzungen von Lemma 23.8 auftretenden Ausdrücke bis ${}n\leq 5$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}{\mathfrak {a}}\subset R$ ein Ideal in einem kommutativen Ring, das in genau einem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ als einzigem Primoberideal enthalten sei. Zeige, dass dann ${}R/{\mathfrak {a}}\cong R_{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {a}}R_{\mathfrak {m}}$ ist. Folgere daraus, dass für ein maximales Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ in einem noetherschen kommutativen Ring die Isomorphie ${}R/{\mathfrak {m}}^{n}\cong R_{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{n}R_{\mathfrak {m}}$ für jedes ${}n$ gilt.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}R=K[X,Y]$ der Polynomring in zwei Variablen. Zeige, dass ${}R$ die Krulldimension zwei besitzt.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}R$ ein noetherscher kommutativer Ring. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

1. ${}R$ hat Krulldimension ${}0$.
2. ${}R$ ist ein artinscher Ring.
3. ${}R$ besitzt endlich viele Primideale, die alle maximal sind.
4. Es gibt eine natürliche Zahl ${}n$ mit ${}{\mathfrak {m}}^{n}=0$ für jedes maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$.
5. Die Reduktion von ${}R$ ist ein Produkt von Körpern.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring von endlicher Krulldimension ${}d$. Zeige, dass die Krulldimension des Polynomrings ${}R[X]$ mindestens ${}d+1$ ist.

(Bemerkung: über einem noetherschen Grundring erhöht sich die Dimension beim Übergang zum Polynomring genau um eins, dies ist aber schwieriger zu beweisen.)