Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 27/latex

\setcounter{section}{27}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Definiere eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} auf der Menge
\mathl{{ {\mathbb A}_{ K }^{ n+1 } } \setminus \{0\}}{} derart, dass der Quotient unter der Äquivalenzrelation der projektive $n$-dimensionale Raum ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{ \left( a_0 , \, \ldots , \, a_n \right) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{}
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ = }{ \left( b_0 , \, \ldots , \, b_n \right) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Punkte im \definitionsverweis {projektiven Raum}{}{}
\mathl{{\mathbb P}^{n}_{K}}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann gilt, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_ib_j -a_jb_i }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle $i,j$ gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{ \left( a_0 , \, \ldots , \, a_n \right) }
{ \in }{ {\mathbb P}^{n}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt im \definitionsverweis {projektiven Raum}{}{.} Zeige, dass es eine offene affine Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \cong }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } }
{ \subset }{ {\mathbb P}^{n}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart gibt, dass $P$ in diesem affinen Raum dem Nullpunkt entspricht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{{\mathbb P}^{n}_{K}}{} der \definitionsverweis {projektive Raum}{}{} der Dimension $n$ über dem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ und seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D_+(X_i) \cong { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } , D_+(X_j)\cong { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } }
{ \subset} {{\mathbb P}^{n}_{K} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} zwei affine offene Teilmengen. Beschreibe die \zusatzklammer {nicht überall definierte} {} {} Übergangsabbildung von $D_+(X_i)$ nach $D_+(X_j)$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man definiere den Begriff \stichwort {projektiv-linearer Unterraum} {} eines projektiven Raumes ${\mathbb P}^{n}_{K}$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ = }{ {\mathbb F}_{ q } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{} mit $q$ Elementen. Berechne auf zwei verschiedene Arten, wie viele Elemente der \definitionsverweis {projektive Raum}{}{} ${\mathbb P}^{n}_{K}$ besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ \subseteq }{ K[X_1 , \ldots ,X_n] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{.} Zeige, dass ${\mathfrak a}$ genau dann ein \definitionsverweis {homogenes Ideal}{}{} ist, wenn es von homogenen Elementen erzeugt wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Skizziere die \definitionsverweis {projektive Nullstellenmenge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_+(XYZ) }
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{2}_{K} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{{\mathbb P}^{2}_{K}}{} die \definitionsverweis {projektive Ebene}{}{} über $K$. Zeige, dass zwei projektive Geraden
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L,M }
{ \subseteq }{ {\mathbb P}^{2}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} stets einen nichtleeren Durchschnitt besitzen.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L }
{ =} {V_+(6X-8Y+3Z) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { V_+(2X+9Y-5Z) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in der projektiven Ebene.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L }
{ =} {V_+(7X-7Y+6Z) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { V_+(8X+Y-4Z) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in der projektiven Ebene.

}
{} {}

Die folgenden Aufgaben besprechen die Zariski-Topologie auf den projektiven Räumen.


\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{} auf dem \definitionsverweis {projektiven Raum}{}{} wirklich eine \definitionsverweis {Topologie}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein unendlicher \definitionsverweis {Körper}{}{} und ${\mathbb P}^{n}_{K}$ der projektive Raum. Charakterisiere die \definitionsverweis {homogenen Ideale}{}{} ${\mathfrak a}$, für die
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D_+({\mathfrak a}) }
{ = }{ \emptyset }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein unendlicher Körper. Zeige, dass der projektive Raum ${\mathbb P}^{n}_{K}$ \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{D_+(L) \cong { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } \subset {\mathbb P}^{n}_{K}}{,} wobei $L$ eine homogene Linearform im zugehörigen Polynomring
\mathl{K[X_0 , \ldots , X_n]}{} sei. Zeige, dass die Zariski-Topologie auf dem projektiven Raum die Zariski-Topologie auf dem affinen Raum induziert.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass unter der \definitionsverweis {Kegelabbildung}{}{} \maabbdisp {\pi} {{ {\mathbb A}_{ K }^{ n+1 } } \setminus \{0\} } {{\mathbb P}^{n}_{K} } {} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \pi^ {-1} (V_+ ( {\mathfrak a} )) }
{ =} { V ( {\mathfrak a} ) \cap { \left( { {\mathbb A}_{ K }^{ n+1 } } \setminus \{0\} \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für jedes \definitionsverweis {homogene Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ \subseteq }{ K[X_0,X_1 , \ldots , X_n] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt. Folgere daraus, dass $\pi$ stetig in der Zariski-Topologie ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q }
{ =} {V { \left( X_0^2+X_1^2 + \cdots + X_n^2-1 \right) } }
{ \subset} { { {\mathbb A}_{ {\mathbb C} }^{ n+1 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und betrachte die Gesamtabbildung
\mathdisp {\varphi: Q \longrightarrow { {\mathbb A}_{ {\mathbb C} }^{ n+1 } } \setminus \{0\} \longrightarrow {\mathbb P}^{n}_{{\mathbb C}}} { , }
wobei hinten die \definitionsverweis {Kegelabbildung}{}{} steht. Ist $\varphi$ \definitionsverweis {surjektiv}{}{?} Wie verhält sich $\varphi$ zur Einschränkung der Kegelabbildung auf die reell
\mathl{2n+1}{-}dimensionale Sphäre
\mathl{S^{2n+1} \subset \R^{2n+2} \cong {\mathbb C}^{n+1}}{?}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L }
{ =} {V_+(-3X-5Y+4Z) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { V_+(7X+2Y-6Z) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in der projektiven Ebene.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass zwei verschiedene Punkte $P$ und $Q$ in der projektiven Ebene eindeutig eine projektive Gerade definieren, auf der beide Punkte liegen. Wie berechnet man die Geradengleichung aus den Koordinaten der Punkte?

}
{Bestimme die homogene Geradengleichung für die beiden Punkte
\mathl{(2,3,7)}{} und
\mathl{(1,5,-2)}{.}} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei ${\mathbb P}^{n}_{K}$ ein projektiver Raum der Dimension $n$ und es seien
\mathl{X,Y \subseteq {\mathbb P}^{n}_{K}}{} projektiv-lineare Unterräume der Dimension $r$ und $s$. Es sei
\mathl{r+s \geq n}{.} Zeige, dass dann
\mathl{X \cap Y \neq \emptyset}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $K$ ein unendlicher Körper und sei
\mathl{P_1 , \ldots , P_m}{} eine endliche Ansammlung von Punkten in einem projektiven Raum ${\mathbb P}^{n}_{K}$. Zeige: Dann gibt es eine homogene Linearform
\mathl{L \in K[X_0 , \ldots , X_n]}{} derart, dass all diese Punkte auf der durch $L$ definierten offenen Teilmenge $D_+(L)$ liegen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mathl{{\mathbb K} = \R}{} oder $={\mathbb C}$. Es sei
\mathl{H \subset {\mathbb K}^{n+1}}{} ein $n$-dimensionaler \definitionsverweis {affiner Unterraum}{}{,} der den Nullpunkt nicht enthält, und es sei $\tilde{H}$ der dazu parallele Unterraum durch den Nullpunkt. Es sei
\mathl{U \subseteq H}{} eine in
\mathl{H \cong {\mathbb K}^n}{} offene Menge \zusatzklammer {in der metrischen Topologie} {} {} und es sei $V$ die Vereinigung aller Geraden durch den Nullpunkt und durch einen Punkt von $U$. Zeige, dass der Durchschnitt von $V$ mit
\mathl{{\mathbb K}^{n+1} \setminus \tilde{H}}{} offen ist.

}
{} {}

Die nächste Aufgabe benötigt noch die folgende Definition:

Für ein \definitionsverweis {homogenes Ideal}{}{} $I$ in
\mathl{R=A[X_0 , \ldots , X_n]}{} mit der \definitionsverweis {Standardgraduierung}{}{} definiert man die \definitionswort {Sättigung}{} \zusatzklammer {oder \definitionswort {Saturierung}{}} {} {} von $I$ als
\mathdisp {{ \left\{ r \in R \mid \text{es existiert ein } n \text{ mit } r \cdot (R_+)^n \subseteq I \right\} }} { . }
Dabei ist $R_+$ das \definitionsverweis {irrelevante Ideal}{}{} $\bigoplus_{d \geq 1}R_d=(X_0 , \ldots , X_n)$.

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $A$ ein kommutativer Ring und
\mathl{R = A[X_0, \ldots, X_n]}{} der Polynomring mit der Standardgraduierung. Zeige, dass die \definitionsverweis {Sättigung}{}{} eines homogenen Ideals $I$ wieder ein homogenes Ideal ist.

}
{} {}