Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 30/latex

\setcounter{section}{30}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige durch ein Beispiel, dass Lemma 30.2 nicht ohne die Voraussetzung gilt, dass der Körper \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossen}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die Schnittpunkte der Fermat-Kubik
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_+ { \left( X^3+Y^3+Z^3 \right) } }
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{2}_{K} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der Geraden
\mathl{V_+(X+Y+Z)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestätige den Satz von Bezout für die beiden \zusatzklammer {affin gegebenen} {} {} Kreise
\mathdisp {V{ \left( X^2+Y^2-1 \right) } \text{ und } V{ \left( X^2+Y^2-4 \right) }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestätige den Satz von Bezout für die beiden \zusatzklammer {affin gegebenen} {} {} \definitionsverweis {Kurven}{}{}
\mathdisp {V{ \left( Y-X^2 \right) } \text{ und } V{ \left( X-Y^2 \right) }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestätige den Satz von Bezout für die beiden \zusatzklammer {affin gegebenen} {} {} \definitionsverweis {Kurven}{}{}
\mathdisp {V{ \left( Y-X^2 \right) } \text{ und } V{ \left( Y-X^2 -1 \right) }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestätige den Satz von Bezout für die beiden \zusatzklammer {affin gegebenen} {} {} \definitionsverweis {Kurven}{}{}
\mathdisp {V{ \left( Y-X^2 \right) } \text{ und } V{ \left( Y-3X^2 \right) }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestätige den Satz von Bezout für die beiden \definitionsverweis {ebenen projektiven Kurven}{}{,} die jeweils als \definitionsverweis {projektiver Abschluss}{}{} zum \definitionsverweis {Graphen}{}{} der \definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y }
{ = }{X^{-1} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bzw.
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y }
{ = }{X^{-1} + 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben sind.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K={\mathbb C}$. Bestimme für die beiden affinen Kurven
\mathdisp {V { \left( Y-X^3 \right) } \text{ und } V { \left( Y^2-X^3 \right) }} { }
ihre Schnittpunkte zusammen mit den \definitionsverweis {Schnittmultiplizitäten}{}{.} Betrachte auch Schnittpunkte im ${\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C}}$ und bestätige den Satz von Bezout in diesem Beispiel.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K={\mathbb C}$ und betrachte die beiden ebenen algebraischen Kurven
\mathdisp {C=V { \left( X-Y^2 \right) } \text{ und } D=V { \left( Y^2-X^5 \right) }} { . }
Bestimme die Schnittpunkte der beiden Kurven in der affinen Ebene und bestimme jeweils die Schnittmultiplizität. Bestimme auch die unendlich fernen Punkte der beiden Kurven \zusatzklammer {also die zusätzlichen Punkte auf den projektiven Abschlüssen $\bar{C}$ und $\bar{D}$} {} {} und überprüfe damit die Schnittpunkte im Unendlichen. Bestätige abschließend, dass der Satz von Bezout in diesem Beispiel erfüllt ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass in den in Beispiel 30.6 berechneten Schnittpunkten
\mathl{\neq (0,0)}{} der beiden Kurven ein \definitionsverweis {transversaler Schnitt}{}{} vorliegt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K= \Z/(5)$ und betrachte die beiden affinen ebenen algebraischen Kurven
\mathdisp {C=V { \left( X^2+Y^2-1 \right) } \text{ und } D=V { \left( X^3-2Y^2+3 \right) }} { . }
Bestimme den Durchschnitt $C \cap D$. Bestimme ferner die unendlich fernen Punkte der beiden Kurven \zusatzklammer {also die zusätzlichen Punkte auf dem \definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{} $\bar{C}$ bzw. $\bar{D}$} {} {.} Wenn man $K$ durch einen \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{} $K \subset L$ ersetzt, wie viele Punkte besitzt dann der Durchschnitt $\bar{C} \cap \bar{D}$ und wie viele davon liegen auf der unendlich fernen Geraden?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $0$. Wir betrachten die beiden Kurven
\mathl{C=V { \left( Y^2-X^b \right) }}{} und
\mathl{D=V { \left( Y^2-X^c \right) }}{} mit
\mathl{c > b \geq 3}{,} $b,c$ ungerade.

a) Berechne die \definitionsverweis {Schnittmultiplizität}{}{} der beiden Kurven im Nullpunkt
\mathl{(0,0)}{.}

b) Berechne die Schnittmultiplizität der beiden Kurven in
\mathl{(1,1)}{.}

c) Bestimme die unendlich fernen Schnittpunkte der beiden Kurven.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Schnittmultiplizitäten}{}{} über ${\mathbb C}$ mit Hilfe des Satzes von Bezout für die beiden \definitionsverweis {ebenen projektiven Kurven}{}{,} die affin durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C }
{ = }{V { \left( Y^2-X^3 \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und den Kreis mit Mittelpunkt
\mathl{(-1,0)}{} und Radius $1$ gegeben sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F,G }
{ \in }{ K[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} verschiedene Polynome vom Grad
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d }
{ \geq }{e }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ C }
{ =} { V_+ { \left( YZ^{d-1} - \hat{ F } (X,Z) \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D }
{ =} { V_+ { \left( YZ^{e-1} - \hat{ G } (X,Z) \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \definitionsverweis {projektiven Abschlüsse}{}{} der zugehörigen \definitionsverweis {Graphen}{}{} wie in Beispiel 30.7. Diskutiere den Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d }
{ = }{e }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{F,G \in K[X]}{} verschiedene Polynome vom Grad
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d }
{ \geq }{e }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C }
{ =} {V_+ { \left( YZ^{d-1} - \hat{ F } (X,Z) \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D }
{ =} {V_+ { \left( YZ^{e-1} - \hat{ G } (X,Z) \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \definitionsverweis {projektiven Abschlüsse}{}{} der zugehörigen \definitionsverweis {Graphen}{}{} wie in Beispiel 30.7. Diskutiere den Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass der \definitionsverweis {Produktraum}{}{}
\mathl{{\mathbb P}^{1}_{K} \times {\mathbb P}^{1}_{K}}{} und die \definitionsverweis {projektive Ebene}{}{}
\mathl{{\mathbb P}^{2}_{K}}{} nicht zueinander isomorph sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

\aufzaehlungdrei{ Zeige, dass durch \maabbeledisp {\varphi} {{\mathbb P}^{1}_{K} \times {\mathbb P}^{1}_{K} } { {\mathbb P}^{3}_{K} } {( (s,t),(u,v)) } { (su,sv,tu,tv) = (x,y,z,w) } {,} ein \definitionsverweis {Morphismus}{}{} gegeben ist. }{Zeige, dass das Bild von $\varphi$ die homogene Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{xw }
{ =} {yz }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erfüllt. }{Zeige, dass eine bijektive Abbildung \maabbdisp {\varphi} {{\mathbb P}^{1}_{K} \times {\mathbb P}^{1}_{K} } { V_+(xw-yz) } {} vorliegt. }

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestätige den Satz von Bezout für die beiden \zusatzklammer {affin gegebenen} {} {} \definitionsverweis {Kurven}{}{}
\mathdisp {V{ \left( Y-X^2 \right) } \text{ und } V{ \left( Y-(X-1)^2 \right) }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestätige den Satz von Bezout für die beiden \definitionsverweis {ebenen projektiven Kurven}{}{}
\mathl{C=V_+ { \left( ZY^2-X^3 \right) }}{} und
\mathl{D=V_+ { \left( X^2+(Y-Z)^2-Z^2 \right) }}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestätige den Satz von Bezout für die beiden \definitionsverweis {ebenen projektiven Kurven}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C }
{ = }{V_+ { \left( ZY-X^2 \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D }
{ = }{V_+{ \left( X^2+(Y-Z)^2-Z^2 \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestätige den Satz von Bezout für die beiden monomialen Kurven, die affin durch
\mathl{C=V(X^2-Y^3)}{} und
\mathl{D=V(X^5-Y^4)}{} gegeben sind.

}
{} {}