Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 30

Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige durch ein Beispiel, dass Lemma 30.2 nicht ohne die Voraussetzung gilt, dass der Körper algebraisch abgeschlossen ist.

Aufgabe *

Bestimme die Schnittpunkte der Fermat-Kubik

${}V_{+}{\left(X^{3}+Y^{3}+Z^{3}\right)}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,$

mit der Geraden ${}V_{+}(X+Y+Z)$.

Aufgabe

Bestätige den Satz von Bezout für die beiden (affin gegebenen) Kreise

$V{\left(X^{2}+Y^{2}-1\right)}\,\,{\text{ und }}\,\,V{\left(X^{2}+Y^{2}-4\right)}.$

Aufgabe

Bestätige den Satz von Bezout für die beiden (affin gegebenen) Kurven

$V{\left(Y-X^{2}\right)}\,\,{\text{ und }}\,\,V{\left(X-Y^{2}\right)}.$

Aufgabe

Bestätige den Satz von Bezout für die beiden (affin gegebenen) Kurven

$V{\left(Y-X^{2}\right)}\,\,{\text{ und }}\,\,V{\left(Y-X^{2}-1\right)}.$

Aufgabe

Bestätige den Satz von Bezout für die beiden (affin gegebenen) Kurven

$V{\left(Y-X^{2}\right)}\,\,{\text{ und }}\,\,V{\left(Y-3X^{2}\right)}.$

Aufgabe

Bestätige den Satz von Bezout für die beiden ebenen projektiven Kurven, die jeweils als projektiver Abschluss zum Graphen der rationalen Funktion ${}Y=X^{-1}$ bzw. ${}Y=X^{-1}+1$ gegeben sind.

Aufgabe *

Es sei ${}K={\mathbb {C} }$. Bestimme für die beiden affinen Kurven

$V{\left(Y-X^{3}\right)}{\text{ und }}V{\left(Y^{2}-X^{3}\right)}$

ihre Schnittpunkte zusammen mit den Schnittmultiplizitäten. Betrachte auch Schnittpunkte im ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$ und bestätige den Satz von Bezout in diesem Beispiel.

Aufgabe *

Es sei ${}K={\mathbb {C} }$ und betrachte die beiden ebenen algebraischen Kurven

$C=V{\left(X-Y^{2}\right)}{\text{ und }}D=V{\left(Y^{2}-X^{5}\right)}.$

Bestimme die Schnittpunkte der beiden Kurven in der affinen Ebene und bestimme jeweils die Schnittmultiplizität. Bestimme auch die unendlich fernen Punkte der beiden Kurven (also die zusätzlichen Punkte auf den projektiven Abschlüssen ${}{\bar {C}}$ und ${}{\bar {D}}$) und überprüfe damit die Schnittpunkte im Unendlichen. Bestätige abschließend, dass der Satz von Bezout in diesem Beispiel erfüllt ist.

Aufgabe

Zeige, dass in den in Beispiel 30.6 berechneten Schnittpunkten ${}\neq (0,0)$ der beiden Kurven ein transversaler Schnitt vorliegt.

Aufgabe *

Es sei ${}K=\mathbb {Z} /(5)$ und betrachte die beiden affinen ebenen algebraischen Kurven

$C=V{\left(X^{2}+Y^{2}-1\right)}{\text{ und }}D=V{\left(X^{3}-2Y^{2}+3\right)}.$

Bestimme den Durchschnitt ${}C\cap D$. Bestimme ferner die unendlich fernen Punkte der beiden Kurven (also die zusätzlichen Punkte auf dem projektiven Abschluss ${}{\bar {C}}$ bzw. ${}{\bar {D}}$). Wenn man ${}K$ durch einen algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K\subset L$ ersetzt, wie viele Punkte besitzt dann der Durchschnitt ${}{\bar {C}}\cap {\bar {D}}$ und wie viele davon liegen auf der unendlich fernen Geraden?

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik ${}0$. Wir betrachten die beiden Kurven ${}C=V{\left(Y^{2}-X^{b}\right)}$ und ${}D=V{\left(Y^{2}-X^{c}\right)}$ mit ${}c>b\geq 3$, ${}b,c$ ungerade.

a) Berechne die Schnittmultiplizität der beiden Kurven im Nullpunkt ${}(0,0)$.

b) Berechne die Schnittmultiplizität der beiden Kurven in ${}(1,1)$.

c) Bestimme die unendlich fernen Schnittpunkte der beiden Kurven.

Aufgabe *

Bestimme die Schnittmultiplizitäten über ${}{\mathbb {C} }$ mit Hilfe des Satzes von Bezout für die beiden ebenen projektiven Kurven, die affin durch ${}C=V{\left(Y^{2}-X^{3}\right)}$ und den Kreis mit Mittelpunkt ${}(-1,0)$ und Radius ${}1$ gegeben sind.

Aufgabe

Es seien ${}F,G\in K[X]$ verschiedene Polynome vom Grad ${}d\geq e$ und seien

${}C=V_{+}{\left(YZ^{d-1}-{\hat {F}}(X,Z)\right)}\,$

und

${}D=V_{+}{\left(YZ^{e-1}-{\hat {G}}(X,Z)\right)}\,$

die projektiven Abschlüsse der zugehörigen Graphen wie in Beispiel 30.7. Diskutiere den Fall ${}d=e$.

Aufgabe

Es seien ${}F,G\in K[X]$ verschiedene Polynome vom Grad ${}d\geq e$ und seien

${}C=V_{+}{\left(YZ^{d-1}-{\hat {F}}(X,Z)\right)}\,$

und

${}D=V_{+}{\left(YZ^{e-1}-{\hat {G}}(X,Z)\right)}\,$

die projektiven Abschlüsse der zugehörigen Graphen wie in Beispiel 30.7. Diskutiere den Fall ${}e=1$.

Aufgabe *

Zeige, dass der Produktraum ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}\times {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ und die projektive Ebene ${}{\mathbb {P} }_{K}^{2}$ nicht zueinander isomorph sind.

Aufgabe

1. Zeige, dass durch

   $\varphi \colon {\mathbb {P} }_{K}^{1}\times {\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{3},\,((s,t),(u,v))\longmapsto (su,sv,tu,tv)=(x,y,z,w),$

   ein Morphismus gegeben ist.

2. Zeige, dass das Bild von ${}\varphi$ die homogene Gleichung

   ${}xw=yz\,$

   erfüllt.

3. Zeige, dass eine bijektive Abbildung

   $\varphi \colon {\mathbb {P} }_{K}^{1}\times {\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow V_{+}(xw-yz)$

   vorliegt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestätige den Satz von Bezout für die beiden (affin gegebenen) Kurven

$V{\left(Y-X^{2}\right)}\,\,{\text{ und }}\,\,V{\left(Y-(X-1)^{2}\right)}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestätige den Satz von Bezout für die beiden ebenen projektiven Kurven ${}C=V_{+}{\left(ZY^{2}-X^{3}\right)}$ und ${}D=V_{+}{\left(X^{2}+(Y-Z)^{2}-Z^{2}\right)}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestätige den Satz von Bezout für die beiden ebenen projektiven Kurven ${}C=V_{+}{\left(ZY-X^{2}\right)}$ und ${}D=V_{+}{\left(X^{2}+(Y-Z)^{2}-Z^{2}\right)}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestätige den Satz von Bezout für die beiden monomialen Kurven, die affin durch ${}C=V(X^{2}-Y^{3})$ und ${}D=V(X^{5}-Y^{4})$ gegeben sind.