Kurs:Analysis/Teil I/100/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte		6	11	5	2	8	3	4	4	6	5	3	2	0	0	4	6	0	69

Aufgabe ( Punkte)

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$

folgende Eigenschaften besitzt.

1. Es ist ${}b^{x+x'}=b^{x}\cdot b^{x'}$ für alle ${}x,x'\in \mathbb {R}$.
2. Es ist ${}b^{-x}={\frac {1}{b^{x}}}$.
3. Für ${}b>1$ und ${}x>0$ ist ${}b^{x}>1$.
4. Für ${}b<1$ und ${}x>0$ ist ${}b^{x}<1$.
5. Für ${}b>1$ ist ${}f$ streng wachsend.
6. Für ${}b<1$ ist ${}f$ streng fallend.
7. Es ist ${}(b^{x})^{x'}=b^{x\cdot x'}$ für alle ${}x,x'\in \mathbb {R}$.
8. Für ${}a\in \mathbb {R} _{+}$ ist ${}(ab)^{x}=a^{x}\cdot b^{x}$.

Aufgabe * (6 (2+2+1+1) Punkte)

Wir betrachten die beiden Sätze „Für jeden Topf gibt es einen Deckel“ und „Es gibt einen Deckel für jeden Topf“, die man im alltäglichen Verständnis wohl als gleichbedeutend ansehen würde. Wenn man aber die beiden Aussagen streng prädikatenlogisch (quantorenlogisch) von vorne nach hinten abarbeitet, so ergeben sich zwei unterschiedliche Bedeutungen.

1. Formuliere die beiden Aussagen durch zusätzliche Wörter so um, dass die unterschiedlichen Bedeutungen deutlich hervortreten.
2. Es sei ${}T$ die Menge der Töpfe und ${}D$ die Menge der Deckel. Es sei ${}P$ ein zweistelliges Prädikat derart, dass (für ${}x\in T$ und ${}y\in D$) ${}P(x,y)$ besagt, dass ${}y$ auf ${}x$ passt. Formuliere die beiden Aussagen allein mit geeigneten mathematischen Symbolen.
3. Kann man aus der Aussage, dass es für jeden Topf einen Deckel gibt, logisch erschließen, dass es für jeden Deckel einen Topf gibt?
4. Wie kann man erklären, dass die beiden Aussagen im alltäglichen Verständnis als gleichbedeutend interpretiert werden?

Aufgabe * (11 (5+4+2) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}a,b\neq 0$ Elemente aus ${}K$. Beweise die folgenden Potenzgesetze für ganzzahlige Exponenten ${}m,n\in \mathbb {Z}$. Dabei darf man die entsprechenden Gesetze für Exponenten aus ${}\mathbb {N}$ sowie die Tatsachen, dass das Inverse des Inversen wieder das Ausgangselement ist und dass das Inverse von ${}u^{k}$ gleich ${}{\left(u^{-1}\right)}^{k}$ ist, verwenden.

1. ${}a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}\,.$

2. ${}{\left(a^{m}\right)}^{n}=a^{mn}\,.$

3. ${}(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}\,.$

Aufgabe * (5 Punkte)

Wir definieren rekursiv eine Folge von reellen Polynomen ${}P_{n}$ durch ${}P_{0}=0$ und

${}P_{n+1}(t)=P_{n}(t)+{\frac {1}{2}}{\left(t-P_{n}(t)^{2}\right)}\,.$

Zeige, dass diese Folge auf ${}[0,1]$ punktweise gegen ${}{\sqrt {t}}$ konvergiert.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}u\in \mathbb {R}$ fixiert. Zeige, dass die Potenzfunktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{u},$

stetig ist.

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz über die Wachstumsdominanz der (ganzzahligen) Exponentialfunktion gegenüber Potenzfunktionen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise die Additionstheoreme für den Sinus und den Kosinus unter Verwendung von Drehmatrizen.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden ${}G$ und des Kreises ${}K$, wobei ${}G$ durch die Gleichung ${}y-3x+1=0$ und ${}K$ durch den Mittelpunkt ${}(-2,3)$ und den Radius ${}4$ gegeben ist.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten auf ${}\mathbb {R} _{+}$ die Funktion

${}f(x)=\arctan x+\arctan {\left(x^{-1}\right)}\,.$

1. Zeige mit Hilfe der Ableitung, dass ${}f$ konstant ist.
2. Bestimme den konstanten Wert von ${}f$.

Aufgabe * (6 (4+2) Punkte)

Wir betrachten die Polynome ${}f_{n}={\left(x^{2}-1\right)}^{n}$.

1. Zeige

   ${}\int _{-1}^{1}{\left(x^{2}-1\right)}^{n}dx=-{\frac {2n}{2n+1}}\int _{-1}^{1}{\left(x^{2}-1\right)}^{n-1}dx\,.$

2. Man folgere

   ${}\int _{-1}^{1}{\left(x^{2}-1\right)}^{n}dx=(-1)^{n}\cdot 2\cdot {\frac {2^{n}(n!)}{(2n+1)(2n-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}\,.$

Aufgabe * (5 (1+1+3) Punkte)

Wir betrachten das reelle Polynom

${}f(x)=x^{2}-{\frac {1}{2}}\,$

1. Skizziere ${}\vert {f(x)}\vert$ auf dem Intervall ${}[-1,1]$.
2. Zeige, dass ${}f$ die Eigenschaft besitzt, dass

   ${}{\max {\left(\vert {f(x)}\vert ,-1\leq x\leq 1\right)}}={\frac {1}{2}}\,$

   ist.

3. Zeige, dass es außer ${}f$ kein weiteres normiertes reelles Polynom vom Grad ${}2$ gibt, das die in Teil (2) beschriebene Eigenschaft erfüllt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige mit Hilfe der Jensensschen Ungleichung, angewendet auf die konkave Logarithmusfunktion, die allgemeine Abschätzung zwischen dem gewichteten arithmetischen und dem gewichteten geometrischen Mittel: Dies ist die Aussage, dass zu positiven Zahlen ${}t_{1},\ldots ,t_{n}>0$ mit

${}\sum _{i=1}^{n}t_{i}=1\,$

und Zahlen ${}x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ die Abschätzung

${}x_{1}^{t_{1}}\cdot x_{2}^{t_{2}}\cdot \ldots \cdot x_{n}^{t_{n}}\leq t_{1}x_{1}+t_{2}x_{2}+\cdots +t_{n}x_{n}\,$

gilt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien ${}p,q$ positive reelle Zahlen mit

${}{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1\,$

und es seien ${}A,B\geq 0$. Zeige mit Aufgabe ***** die Abschätzung

${}AB\leq {\frac {A^{p}}{p}}+{\frac {B^{q}}{q}}\,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

1. Zeige, dass für reelles ${}x\geq 0$ die Abschätzung

   ${}1-\cos x\leq {\frac {x^{2}}{2}}\,$

   gilt.

2. Zeige, dass für reelles ${}x$ die Abschätzung

   ${}\vert {1-e^{{\mathrm {i} }x}}\vert \leq \vert {x}\vert \,$

   gilt.

Aufgabe * (6 (1+2+3) Punkte)

Die Bernoullische Ungleichung

${}(1+x)^{n}\geq 1+nx\,$

gilt für reelle Zahlen

${}x\geq -1\,$

und natürliche Exponenten ${}n\in \mathbb {N}$.

1. Zeige, dass die Bernoullische Ungleichung für den Exponenten ${}n=2$ für alle ${}x$ gilt.
2. Zeige durch ein Beispiel, dass die Bernoullische Ungleichung für den Exponenten ${}n=3$ nicht für alle ${}x$ gilt.
3. Zeige, dass die Bernoullische Ungleichung für den Exponenten ${}n=4$ für alle ${}x$ gilt.

Aufgabe (0 Punkte)