Kurs:Analysis/Teil I/16/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	${}\sum$
Punkte	3	3	6	4	4	3	5	6	6	7	4	5	8	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Betrag eines Elementes ${}x$ in einem angeordneten Körper ${}K$.
2. Der Grad eines Polynoms ${}P\in K[X]$, ${}P\neq 0$, über einem Körper ${}K$.
3. Ein lokales Minimum einer Funktion

   $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

   ($D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge) in einem Punkt ${}x\in D$.

4. Die Zahl ${}\pi$ (gefragt ist nach der analytischen Definition).
5. Die Potenzreihe in ${}z\in {\mathbb {C} }$ zu den Koeffizienten ${}c_{n}\in {\mathbb {C} }$, ${}n\in \mathbb {N}$.
6. Die Zeitunabhängigkeit einer gewöhnlichen Differentialgleichung

   $y'=f(t,y).$

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über beschränkte Teilmengen von ${}\mathbb {R}$.
2. Die Funktionalgleichung der komplexen Exponentialfunktion.
3. Der Satz über partielle Integration.

Aufgabe * (6 (1+1+1+1+2) Punkte)

Bei einer Fernsehaufzeichnung sitzen ${}n$ Zuschauer im Studio, die über ein elektronisches Gerät auf verschiedene Fragen mit Ja oder Nein antworten und wobei das Ergebnis (die Ja-Antworten) in vollen Prozent auf einem Bildschirm erscheint und wobei ab ${},5$ nach oben gerundet wird.

a) Erstelle eine Formel mit Hilfe der Gaußklammer ${}\lfloor \,\,\rfloor$, die bei gegebenem ${}n$ aus ${}i$ die Prozentzahl ${}p(i)$ berechnet.

b) Für welche ${}n$ ist die Prozentabbildung aus a) injektiv und für welche surjektiv?

c) Es sei ${}n=99$. Welche Prozentzahl tritt nie auf dem Bildschirm auf?

d) Es sei ${}n=101$. Hinter welcher Prozentzahl können sich unterschiedlich viele Ja-Stimmen verbergen?

e) Es sei ${}n=102$. Hinter welchen Prozentzahlen können sich unterschiedlich viele Ja-Stimmen verbergen?

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in ${}K$. Zeige, dass die Produktfolge ${}{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}\cdot {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,$

ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom und ${}a\in K$. Zeige, dass ${}a$ genau dann eine Nullstelle von ${}P$ ist, wenn ${}P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms ${}X-a$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien

$f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

stetige Funktionen mit ${}f(a)\geq g(a)$ und ${}f(b)\leq g(b)$. Zeige, dass es einen Punkt ${}c\in [a,b]$ mit ${}f(c)=g(c)$ gibt.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die Funktionalgleichung für die komplexe Exponentialfunktion.

Aufgabe * (6 (3+3) Punkte)

Untersuche die Funktionenfolge

$\mathbb {R} _{>0}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f_{n}(x),$

mit

${}f_{n}(x)=x^{\frac {n}{n+1}}\,$

auf

a) punktweise Konvergenz und auf

b) gleichmäßige Konvergenz.

Aufgabe * (6 (4+2) Punkte)

a) Man gebe ein quadratisches Polynom an, dessen Graph die Diagonale und die Gegendiagonale bei ${}y=1$ jeweils tangential schneidet.

b) Man zeige, dass der Graph des Lösungspolynoms aus Teil a) innerhalb des oberen, durch die Diagonale und die Gegendiagonale begrenzten Viertels der Ebene liegt.

Aufgabe * (7 (1+1+3+2) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

${}f(x)={\frac {1}{\sin x}}\,$

im Reellen.

a) Bestimme den Definitionsbereich von ${}f$.

b) Skizziere ${}f$ für ${}x$ zwischen ${}-2\pi$ und ${}2\pi$.

c) Bestimme die ersten drei Ableitungen von ${}f$.

d) Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung ${}3$ von ${}f$ im Punkt ${}{\frac {\pi }{2}}$.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine periodische Funktion mit der Periode ${}L>0$.

a) Es sei ${}f$ differenzierbar. Zeige, dass die Ableitung ${}f'$ ebenfalls periodisch mit der Periode ${}L$ ist.

b) Man gebe ein Beispiel einer nichtkonstanten, periodischen, stetigen Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, deren Stammfunktion nicht periodisch ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{>0}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {e^{3x}}{e^{x}-e^{-x}}}.$

Aufgabe * (8 (2+2+4) Punkte)

Es sei

${}y'=h(y)\,$

eine zeitunabhängige Differentialgleichung mit einer unendlich oft differenzierbaren Funktion

$h\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

und es sei

$y\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Lösung dazu auf einem offenen Intervall ${}I$.

a) Drücke die zweite Ableitung von ${}y$ mit ${}h,h'$ und ${}y$ aus.

b) Drücke die dritte Ableitung von ${}y$ mit ${}h,h',h^{\prime \prime }$ und ${}y$ aus.

c) Zeige, dass die ${}n$-te Ableitung von ${}y$ die Form

${\left(\sum _{\nu }a_{\nu }{\left(\prod _{j=0}^{n-1}{\left(h^{(j)}\right)}^{\nu _{j}}\right)}\right)}\circ y$

mit gewissen Zahlen ${}a_{\nu }\in \mathbb {N}$ für jedes ${}n$-Tupel ${}\nu =(\nu _{0},\ldots ,\nu _{n-1})\in \mathbb {N} ^{n}$ mit ${}\nu _{j}\leq n-1$ besitzt.