Kurs:Analysis/Teil I/17/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	2	1	4	2	2	3	2	5	4	4	6	6	8	4	5	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Körper der reellen Zahlen.
2. Der Grad eines Polynoms ${}P\in K[X]$, ${}P\neq 0$, über einem Körper ${}K$.
3. Ein lokales Minimum einer Funktion

   $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

   ($D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge) in einem Punkt ${}x\in D$.

4. Die Zahl ${}\pi$ (gefragt ist nach der analytischen Definition).
5. Die Potenzreihe in ${}z\in {\mathbb {C} }$ zu den Koeffizienten ${}c_{n}\in {\mathbb {C} }$, ${}n\in \mathbb {N}$.
6. Die Zeitunabhängigkeit einer gewöhnlichen Differentialgleichung

   $y'=f(t,y).$

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über den Vergleich zwischen Stammbrüchen und positiven Zahlen.
2. Die Konvergenzaussage für die geometrische Reihe in ${}{\mathbb {C} }$.
3. Das Lösungsverfahren für homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Im September besteht die Zeitdifferenz zwischen Deutschland und Chile ${}6$ Stunden (in Chile wird es ${}6$ Stunden später hell). Anfang Oktober wird in Deutschland die Uhr von der Sommerzeit auf die Winterzeit umgestellt, die Uhr wird also um eine Stunde nachts von ${}3$ auf ${}2$ zurückgestellt. In der gleichen Nacht wird die Uhr in Chile umgestellt. Wie groß ist die Zeitdifferenz nach der Umstellung?

Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei ${}M$ eine Menge. Wir betrachten die Verknüpfung

${\mathfrak {P}}\,(M)\times {\mathfrak {P}}\,(M)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(M),\,(A,B)\longmapsto A\setminus B.$

Ist diese Verknüpfung assoziativ?

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten das kommutative Diagramm

${\begin{matrix}A&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&B&\\\!\!\!\!\!g\downarrow &&\downarrow h\!\!\!\!\!&\\L&{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}&M&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

von Mengen und Abbildungen, d.h. es gilt

${}h\circ \varphi =\psi \circ g\,.$

Es seien ${}g$ und ${}h$ bijektiv.

1. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann injektiv ist, wenn ${}\psi$ injektiv ist.
2. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann surjektiv ist, wenn ${}\psi$ surjektiv ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne

$(x+{\mathrm {i} }y)^{n}.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne

$(-x^{2}+x-1)^{3}.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass in einem angeordneten Körper jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion, die mit der Diagonalen zwei Schnittpunkte ${}P\neq Q$ besitze. Zeige, dass der Graph der Ableitung ${}f'$ einen Schnittpunkt mit der durch ${}y=1$ definierten Geraden besitzt.

Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme die lokalen und die globalen Extrema der Funktion

$f\colon [-2,5]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=2x^{3}-5x^{2}+4x-1.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die reelle Exponentialfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto e^{x},$

keine rationale Funktion ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass eine reelle Polynomfunktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

vom Grad ${}d\geq 1$ maximal ${}d-1$ lokale Extrema besitzt, und die reellen Zahlen sich in maximal ${}d$ Intervalle unterteilen lassen, auf denen abwechselnd ${}f$ streng wachsend oder streng fallend ist.

Aufgabe * (6 Punkte)

Wir betrachten ein normiertes Polynom vom Grad ${}4$,

${}F(x)=x^{4}+rx^{3}+sx^{2}+tx+u\,$

mit ${}r,s,t,u\in \mathbb {R}$. Zeige, dass es Zahlen ${}a,b,c,d\in \mathbb {R}$ mit

${}F(x)=(x-a)^{2}(x-b)^{2}+cx+d\,$

gibt.

Aufgabe * (6 (1+1+1+3) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f\colon ]0,1[\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{\ln x}}.$

a) Skizziere ${}f$.

b) Bestimme die Ableitung von ${}f$.

c) Bestimme die zweite Ableitung von ${}f$.

d) Untersuche ${}f$ auf Extrema, Monotonieverhalten und Wendepunkte.

Aufgabe * (8 (2+5+1) Punkte)

Es sei ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R} _{+}$ eine auf einem offenen Intervall definierte Funktion. Wir interessieren uns für den Limes

$\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)}^{\frac {1}{h}}$

zu einem Punkt ${}x\in I$.

1. Bestimme diesen Limes für die Funktion

   ${}f(x)=a^{x}\,$

   mit einem ${}a\in \mathbb {R} _{+}$.

2. Es sei ${}f$ in ${}x\in I$ differenzierbar. Zeige

   ${}\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)}^{\frac {1}{h}}=\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)\,$

3. Überprüfe das Ergebnis aus (1) mit Hilfe der Formel aus (2).

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$(\ln(1+\sin x))\cdot \sin x.$

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über das Lösungsverfahren für homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen.