Kurs:Analysis/Teil I/19/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	${}\sum$
Punkte	3	3	2	1	4	2	2	2	1	2	4	4	2	3	5	4	7	4	4	2	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Im Pokal spielt Bayern München gegen den TSV Wildberg. Der Trainer vom TSV Wildberg, Herr Tor Acker, sagt „Wir haben in dem Spiel nichts zu verlieren“. Die Logiklehrerin von Wildberg, Frau Loki Schummele, sagt „Wenn die Wildberger in dem Spiel nichts zu verlieren haben, dann haben auch die Münchner in dem Spiel nichts zu gewinnen“. Der Trainer von Bayern München, Herr Roland Rollrasen, sagt „Wir haben in dem Spiel etwas zu gewinnen“.

Ist die Aussage von Frau Schummele logisch korrekt?
Es sei vorausgesetzt, dass die Aussage des Bayerntrainers wahr ist. Welche Folgerung kann man dann für die Aussage von Herrn Acker ziehen?

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Das Brötchen von vorvorgestern ist überüberübermorgen von ....?

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Betrachte die Abbildung

f\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,n\longmapsto {\begin{cases}-{\frac {n}{2}},{\text{ falls }}n{\text{ gerade}}\,,\\{\frac {n+1}{2}},{\text{ falls }}n{\text{ ungerade}}\,.\end{cases}}

Ist ${}f$ injektiv, surjektiv bzw. bijektiv?

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Begründe das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass in einem Körper ${}K$ zu jedem Element ${}x\neq 0$ das Element ${}z$ mit ${}xz=1$ eindeutig bestimmt ist.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die Formel

{}2^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\,

mit Hilfe des allgemeinen binomischen Lehrsatzes.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Bestimme die Lösungsmenge des Ungleichungssystems

{}2x\geq 7\,

und

{}5x\leq 12\,

über ${}\mathbb {Q}$ .

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ sei durch

{}x_{n}={\begin{cases}1,\,{\text{ falls }}n{\text{ eine Primzahl ist}}\,,\\0\,{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,

definiert.

Bestimme ${}x_{117}$ und ${}x_{127}$ .
Konvergiert die Folge in ${}\mathbb {Q}$ ?

Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {3}}$ mit dem Startwert ${}x_{0}=1$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {\frac {1}{3}}}$ mit dem Startwert ${}y_{0}=1$ .

Berechne ${}x_{1}$ und ${}x_{2}$ .
Berechne ${}y_{1}$ und ${}y_{2}$ .
Berechne ${}x_{0}\cdot y_{0},\,x_{1}\cdot y_{1}$ und ${}x_{2}\cdot y_{2}$ .
Konvergiert die Produktfolge ${}z_{n}=x_{n}\cdot y_{n}$ innerhalb der rationalen Zahlen?

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ drei Folgen in ${}K$ . Es gelte ${}x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$ und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert ${}a$ . Zeige, dass dann auch ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen diesen Grenzwert ${}a$ konvergiert.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme den folgenden Funktionslimes

\operatorname {lim} _{x\rightarrow 1}\,{\frac {\sin \left(x-1\right)}{\ln x}}.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Vergleiche die beiden Zahlen

{\sqrt {3}}^{-{\frac {9}{4}}}\,\,{\text{  und }}\,\,{\sqrt {3}}^{-{\sqrt {5}}}.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien

g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} \setminus \{0\}

differenzierbare Funktionen. Beweise durch Induktion über ${}n$ die Beziehung

{}{\left({\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\right)}^{\prime }={\frac {-1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\cdot {\left({\frac {g_{1}'}{g_{1}}}+{\frac {g_{2}'}{g_{2}}}+\cdots +{\frac {g_{n}'}{g_{n}}}\right)}\,.

Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass eine ungerade Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ im Nullpunkt ein globales Extremum haben kann.
Zeige, dass eine ungerade Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ im Nullpunkt kein isoliertes lokales Extremum haben kann.