Kurs:Analysis/Teil I/20/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	3	2	3	4	4	4	3	4	4	5	3	4	3	2	2	4	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Man erläutere die Begriffe hinreichende und notwendige Bedingung anhand typischer Beispiele.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Die Partei „Zukunft für alle“ hat zwei Ziele.

Millionäre entschädigungslos enteignen.
Ein bedingungsloses monatliches Grundeinkommen von ${}1200$ Euro für jeden Erwachsenen.

Hans hat kein Geld und hat mit Geld auch nichts am Hut, er ist jetzt gerade ${}18$ geworden und lebt allein auf einem kleinen Bauernhof als Selbstversorger, ohne Einnahmen, ohne Ausgaben, und das soll in seinem Leben auch so bleiben. Vorausgesetzt, das Parteiprogramm wird Gesetz, wie alt muss Hans (in Jahren und Monaten) werden, bis er enteignet wird?

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Ein Schokoriegel der Marke „Höcker und Kerbe“ besteht aus einer einzigen Reihe von ${}n$ hintereinanderliegenden höckerförmigen Schokostücken, die jeweils durch eine Einkerbung (der Sollbruchstelle) miteinander verbunden sind. Zeige mit und ohne Induktion, dass man, egal bei welcher Teilungsstrategie, genau ${}n-1$ Teilungsschritte braucht, um den Schokoriegel vollständig in seine Stücke aufzuteilen.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine ${}n$ -elementige Menge. Zeige durch Induktion über ${}k$ , dass die Anzahl der ${}k$ -elementigen Teilmengen von ${}M$ gleich dem Binomialkoeffizienten

{\binom {n}{k}}

ist.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige die Abschätzung

{}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sqrt {i}}}\leq 3{\sqrt {n}}\,.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in ${}K$ . Zeige, dass die Produktfolge ${}{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

{}\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}\cdot {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,

ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für eine nichtstetige Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

derart, dass sämtliche Hintereinanderschaltungen ${}f\circ f,f\circ f\circ f,\ldots$ unendlich oft differenzierbar sind.

Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Zu Reihen ${}\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ und ${}\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}$ komplexer Zahlen nennen wir die Reihe

\sum _{k=0}^{\infty }d_{k}{\text{ mit }}d_{k}=\sum _{j=0}^{k}a_{k}b_{j}+\sum _{i=0}^{k-1}a_{i}b_{k}

das „Quadratrandprodukt“ der beiden Reihen.

Zeige, dass jedes Produkt ${}a_{i}b_{j}$ genau zu einem ${}d_{k}$ beiträgt.
Die beiden Reihen seien konvergent. Zeige, dass auch die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }d_{k}$ konvergent ist, und dass deren Summe gleich dem Produkt der beiden Reihen ist.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Gleichung

{}{\frac {x^{2}-5x+7}{x^{3}}}=1\,

eine reelle Lösung im Intervall ${}[1,2]$ besitzt und bestimme diese bis auf einen Fehler von maximal ein Achtel.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion

{}f(x)=-2x^{3}+7x^{2}-3x-1\,.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}F$ ein Polynom der Form

{}F=(x-a)^{2}(x-b)^{2}+cx+d\,

mit ${}a,b,c,d\in \mathbb {R}$ . Zeige, dass ${}L(x)=cx+d$ sowohl in ${}(a,F(a))$ als auch in ${}(b,F(b))$ die Tangente zu ${}F$ beschreibt. Skizziere die Situation.