Kurs:Analysis/Teil I/27/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 6 }
\renewcommand{\asechs}{ 5 }
\renewcommand{\asieben}{ 2 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 7 }
\renewcommand{\aelf}{ 2 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 9 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Gruppe} {.}
}{Das
\stichwort {Minimum} {}
einer Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem angeordneten Körper $K$.
}{Ein \stichwort {Häufungspunkt} {} einer Folge in einem angeordneten Körper $K$.
}{Der \stichwort {Logarithmus zur Basis} {}
\mathbed {b \in \R_+} {}
{b \neq 1} {}
{} {} {} {,}
einer positiven reellen Zahl $x$.
}{Die $n$-fache
\stichwort {stetige Differenzierbarkeit} {}
einer Funktion
\maabbdisp {f} {D} { {\mathbb K}
} {}
auf einer offenen Teilmenge
\mathl{D \subseteq {\mathbb K}}{.}
}{Das
\stichwort {Oberintegral} {}
einer nach oben beschränkten Funktion
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
auf einem beschränkten Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.}
}
}
{
\aufzaehlungsechs{Eine Menge $G$ mit einem ausgezeichneten Element
\mathl{e \in G}{} und mit einer
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
\maabbeledisp {} {G \times G} {G
} {(g,h)} { g \circ h
} {,}
heißt
Gruppe,
wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
\aufzaehlungdrei{Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle
\mathl{f,g,h \in G}{} gilt
\mathdisp {(f\circ g)\circ h =f \circ (g \circ h)} { . }
}{Das Element $e$ ist ein neutrales Element, d.h. für alle
\mathl{g\in G}{} gilt
\mathdisp {g \circ e = g = e \circ g} { . }
}{Zu jedem
\mathl{g \in G}{} gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein
\mathl{h \in G}{} mit
\mathdisp {h \circ g=g \circ h = e} { . }
}
}{Ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \geq }{t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt
Minimum
von $M$.
}{Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in $K$. Ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
unendlich viele Folgenglieder $x_n$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n - x }
}
{ \leq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}{Der
\stichwort {Logarithmus zur Basis} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \neq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{\R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \log_{ b } x
}
{ \defeq} { { \frac{ \ln x }{ \ln b } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert.
}{Man sagt, dass $f$ $n$-mal stetig differenzierbar ist, wenn $f$
\definitionsverweis {n-mal differenzierbar}{}{}
ist und die
\definitionsverweis {n-te Ableitung}{}{}
$f^{(n)}$
\definitionsverweis {stetig}{}{}
ist.
}{Das Oberintegral ist definiert als das
\definitionsverweis {Infimum}{}{}
von sämtlichen
\definitionsverweis {Treppenintegralen}{}{}
zu
\definitionsverweis {oberen Treppenfunktionen}{}{}
von $f$.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms} {} über einem Körper $K$.}{Das \stichwort {Weierstraß-Kriterium} {} für Funktionenfolgen.}{Der Satz über die Ableitung in einem lokalen Extremum.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Ein von $0$ verschiedenes Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vom Grad $d$ besitzt maximal $d$ Nullstellen.}{Es sei $T$ eine Menge und sei
\maabbdisp {g_k} {T} { {\mathbb K}
} {}
eine Funktionenfolge mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{k = 0}^\infty \Vert {g_k} \Vert
}
{ <} { \infty
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann konvergiert die Reihe
\mathl{\sum_{k=0}^\infty g_k}{} gleichmäßig
und punktweise absolut gegen eine Funktion
\maabbdisp {f} {T} { {\mathbb K}
} {.}}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
offen und sei
\maabbdisp {f} {D} {\R
} {}
eine Funktion, die in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein lokales Extremum besitze und dort differenzierbar sei. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(a)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Nehmen Sie Stellung zur folgenden Aussage: \anfuehrung{Das Prinzip \anfuehrung{Beweis durch Widerspruch}{} ist offenbar absurd. Wenn man alles annehmen darf, so kann man immer einen Widerspruch erzielen und somit alles beweisen}{.}
}
{Widerspruchsbeweis/Einwand/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es seien
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
Mengen und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B
}
{ \subseteq }{ N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Teilmengen. Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( A \times N \right) } \cap { \left( M \times B \right) }
}
{ =} { A \times B
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Wir zeigen die beiden Inklusionen. Es sei zunächst
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(x,y)
}
{ \in} { { \left( A \times N \right) } \cap { \left( M \times B \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies bedeutet
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(x,y)
}
{ \in} {{ \left( A \times N \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(x,y)
}
{ \in} {{ \left( M \times B \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies bedeutet einerseits
\mathl{x \in A}{} und andererseits
\mathl{y \in B}{.} Also ist
\mathl{(x,y) \in A \times B}{.}
Wenn umgekehrt
\mathl{(x,y) \in A \times B}{} gilt, so ist
\mathl{x \in A}{} und
\mathl{y \in B}{.} Wegen der Teilmengenbeziehungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{B
}
{ \subseteq }{N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(x,y)
}
{ \in} {{ \left( A \times N \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(x,y)
}
{ \in} {{ \left( M \times B \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(x,y)
}
{ \in} { { \left( A \times N \right) } \cap { \left( M \times B \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6 (1+1+1+1+2)}
{
Bei einer Fernsehaufzeichnung sitzen $n$ Zuschauer im Studio, die über ein elektronisches Gerät auf verschiedene Fragen mit Ja oder Nein antworten und wobei das Ergebnis
\zusatzklammer {die Ja-Antworten} {} {}
in vollen Prozent auf einem Bildschirm erscheint und wobei ab
\mathl{,5}{} nach oben gerundet wird.
a) Erstelle eine Formel mit Hilfe der
\definitionsverweis {Gaußklammer}{}{}
$\lfloor \, \, \rfloor$, die bei gegebenem $n$ aus $i$ die Prozentzahl
\mathl{p(i)}{} berechnet.
b) Für welche $n$ ist die Prozentabbildung aus a) injektiv und für welche surjektiv?
c) Es sei
\mathl{n=99}{.} Welche Prozentzahl tritt nie auf dem Bildschirm auf?
d) Es sei
\mathl{n=101}{.} Hinter welcher Prozentzahl können sich unterschiedlich viele Ja-Stimmen verbergen?
e) Es sei
\mathl{n=102}{.} Hinter welchen Prozentzahlen können sich unterschiedlich viele Ja-Stimmen verbergen?
}
{
a) Die ganze Prozentzahl wird bei $i$ Ja-Antworten von $n$ Zuschauern bei der angegebenen Rundung durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ p(i)
}
{ =} {\left\lfloor 100 \cdot { \frac{ i }{ n } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } \right \rfloor
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
berechnet.
b) Für
\mathl{n \leq 99}{} ist die Abbildung aus Anzahlgründen nicht surjektiv. Sie ist injektiv, da der ungerundete Prozentwert einer Person größer als $1$ ist und daher die Hinzunahme einer Person die gerundete Prozentanzahl um mindestens $1$ erhöht. Für
\mathl{n=100}{} ist die Abbildung die Identität, also injektiv und surjektiv. Für
\mathl{n \geq 101}{} ist die Abbildung aus Anzahlgründen nicht injektiv. Sie ist surjektiv, da der ungerundete Prozentwert einer Person weniger als $1$ ist und daher die Hinzunahme einer Person die gerundete Prozentanzahl um höchstens $1$ erhöht.
c) Die Prozentzahl $50$ kommt nicht vor. Für
\mathl{i=49}{} ist das Ergebnis
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\lfloor 100 \cdot { \frac{ 49 }{ 99 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } \right \rfloor
}
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 9800 + 99 }{ 198 } } \right \rfloor
}
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 9899 }{ 198 } } \right \rfloor
}
{ =} {49
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{198 \cdot 50
}
{ = }{9900
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
und für
\mathl{i=50}{} ist das Ergebnis
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\lfloor 100 \cdot { \frac{ 50 }{ 99 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } \right \rfloor
}
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 10000 + 99 }{ 198 } } \right \rfloor
}
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 10099 }{ 198 } } \right \rfloor
}
{ =} {51
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{198 \cdot 51
}
{ = }{10098
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
d) Die Prozentzahl $50$ kommt doppelt vor. Für
\mathl{i=50}{} ist das Ergebnis
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\lfloor 100 \cdot { \frac{ 50 }{ 101 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } \right \rfloor
}
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 10000 + 101 }{ 202 } } \right \rfloor
}
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 10101 }{ 202 } } \right \rfloor
}
{ =} {50
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{202 \cdot 50
}
{ = }{10100
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
und für
\mathl{i=51}{} ist das Ergebnis
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\lfloor 100 \cdot { \frac{ 51 }{ 101 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } \right \rfloor
}
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 10200 + 101 }{ 202 } } \right \rfloor
}
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 10301 }{ 202 } } \right \rfloor
}
{ =} {50
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{202 \cdot 51
}
{ = }{10302
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
e) Die Prozentzahl $25$ kommt doppelt vor. Für
\mathl{i=25}{} ist das Ergebnis
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\lfloor 100 \cdot { \frac{ 25 }{ 102 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } \right \rfloor
}
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 2500 + 51 }{ 102 } } \right \rfloor
}
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 2551 }{ 102 } } \right \rfloor
}
{ =} {25
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{102 \cdot 25
}
{ = }{2550
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
und für
\mathl{i=26}{} ist das Ergebnis ebenfalls
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\lfloor 100 \cdot { \frac{ 26 }{ 102 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } \right \rfloor
}
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 2600 + 51 }{ 102 } } \right \rfloor
}
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 2651 }{ 102 } } \right \rfloor
}
{ =} {25
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{102 \cdot 26
}
{ = }{2652
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
Wegen der Symmetrie der Situation
\zusatzklammer {bis auf die Rundung} {} {}
kommt auch die Prozentzahl $75$ doppelt vor, für
\mathl{i=76,77}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {reelle Zahlen}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1+x^{-s}
}
{ <} { { \frac{ 1 }{ 1-x^{-s} } }
}
{ \leq} {1 + 2x^{-s}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^{-s}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ x^s } }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 2^s } }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ <} {1
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1-x^{-s}
}
{ >} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir können also die Abschätzungen nachweisen, wenn wir mit
\mathl{1-x^{-s}}{} multiplizieren.
Die linke Abschätzung folgt somit aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(1+x^{-s})(1-x^{-s})
}
{ =} {1- (x^{-s})^2
}
{ <} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für die rechte Abschätzung ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1
}
{ \leq} { (1+2 x^{-s})(1-x^{-s})
}
{ =} {1+x^{-s} - 2 x^{-s}x^{-s}
}
{ =} { 1+x^{-s} (1-2x^{-s})
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nachzuweisen. Aus der obigen Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^{-s}
}
{ \leq }{ { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ergibt sich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ -2 x^{-s}
}
{ \geq }{ -1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1-2x^{-s}
}
{ \geq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
was
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1
}
{ \leq} {1+x^{-s} (1-2x^{-s})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bestätigt.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Löse die lineare Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(2+5 { \mathrm i}) z
}
{ =} {(3-7 { \mathrm i})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über ${\mathbb C}$ und berechne den Betrag der Lösung.
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{z
}
{ =} {(3-7 { \mathrm i}) (2+5 { \mathrm i})^{-1}
}
{ =} {(3-7 { \mathrm i}) { \frac{ (2-5 { \mathrm i}) }{ 29 } }
}
{ =} { { \frac{ 6-35-14 { \mathrm i}-15 { \mathrm i} }{ 29 } }
}
{ =} { { \frac{ -29-29 { \mathrm i} }{ 29 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {-1- { \mathrm i}
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Der Betrag ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { -1- { \mathrm i} }
}
{ =} { \sqrt{ 2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Beweise das Quotientenkriterium für Reihen.
}
{
Die Konvergenz ändert sich nicht, wenn man endlich viele Glieder ändert. Daher können wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k_0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
annehmen. Ferner können wir annehmen, dass alle $a_k$
\definitionsverweis {positive}{}{}
\definitionsverweis {reelle Zahlen}{}{}
sind. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_k
}
{ =} { \frac{a_k}{a_{k-1} } \cdot \frac{a_{k-1} }{a_{k-2} } { \cdots } \frac{a_1}{a_{0} } \cdot a_0
}
{ \leq} { a_0 \cdot q^k
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit folgt die Konvergenz aus dem
Majorantenkriterium und der
Konvergenz
der
\definitionsverweis {geometrischen Reihe}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4 (1+3)}
{
\aufzaehlungzwei {Skizziere die Graphen der Funktionen \maabbeledisp {f} {\R_+} { \R } {x} {x-1 } {,} und \maabbeledisp {g} {\R_+} { \R } {x} { { \frac{ 1 }{ x } } } {,} } {Bestimme die Schnittpunkte der beiden Graphen. }
}
{
\aufzaehlungzwei {
\mathl{\,}{}
} {Die Schnittbedingung führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ x } }
}
{ =} {x-1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw. auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1
}
{ =} {x^2 -x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Quadratisches Ergänzen führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1
}
{ =} { { \left( x- { \frac{ 1 }{ 2 } } \right) }^2- { \frac{ 1 }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( x- { \frac{ 1 }{ 2 } } \right) }^2
}
{ =} { { \frac{ 5 }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { { \frac{ \sqrt{5} }{ 2 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die $x$-Koordinate des einzigen Schnittpunktes
\zusatzklammer {die negative Wurzel führt zu einem Punkt außerhalb des Definitionsbereiches} {} {.}
Der einzige Schnittpunkt ist
\mathdisp {\left( { \frac{ \sqrt{5} }{ 2 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } , \, { \frac{ \sqrt{5} }{ 2 } } - { \frac{ 1 }{ 2 } } \right)} { . }
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{7}
{
Beweise den Satz über die stetige Fortsetzbarkeit einer Funktion
\mathl{T\longrightarrow {\mathbb K}}{,} wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge ist.
}
{
Aufgrund von
Satz 14.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
genügt es zu zeigen, dass der
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
\mathl{\operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, f(x)}{} für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ \overline{ T } \setminus T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
existiert. Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in $T$, die gegen $a$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
Wir zeigen, dass dann auch die Bildfolge
\mathl{{ \left( f(x_n) \right) }_{ n \in \N }}{} konvergiert. Da diese Bildfolge in ${\mathbb K}$ ist, und ${\mathbb K}$
\definitionsverweis {vollständig}{}{}
ist, genügt es zu zeigen, dass eine
\definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{}
vorliegt.
\teilbeweis {}{}{}
{Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Wegen der
\definitionsverweis {gleichmäßigen Stetigkeit}{}{}
von $f$ gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( f(x), f(x') \right) }
}
{ \leq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x,x'
}
{ \in }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( x, x' \right) }
}
{ \leq }{ \delta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Wegen der Konvergenz der Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} handelt es sich nach
Lemma 6.8 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
um eine Cauchy-Folge und daher gibt es ein $n_0$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( x_n, x_m \right) }
}
{ \leq }{ \delta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n,m
}
{ \geq }{ n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Somit gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d { \left( f(x_n), f(x_m) \right) }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n,m
}
{ \geq }{ n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Wir müssen nun noch zeigen, dass für jede gegen $a$ konvergente Folge der Grenzwert der Bildfolge gleich ist. Dies ergibt sich aber sofort, wenn man für zwei Folgen
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
die Folge
\mathl{x_0,y_0,x_1,y_1, \ldots}{} betrachtet, die ebenfalls gegen $a$ konvergiert, und für die der Limes der Bildfolge mit den Limiten der Teilbildfolgen übereinstimmt.}
{}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbdisp {\ln} {\R_+} {\R } {.}
}
{
Da der Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist, können wir
Satz 18.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
anwenden und erhalten mit
[[Reelle Exponentialfunktion/Ableitung/Fakt|Satz . (Analysis (Osnabrück 2021-2023))]]
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \ln' (x)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \exp' ( \ln x) } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \exp ( \ln x) } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ x } }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Taylorentwicklung}{}{}
der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { { \frac{ x^2-4x+5 }{ x-6 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{ -1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bis zum Grad $\leq 2$.
}
{
Die ersten beiden Ableitungen von $f$ sind
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{f'(x)
}
{ =} { { \frac{ (2x-4)(x-6) - (x^2-4x+5) }{ (x-6)^2 } }
}
{ =} { { \frac{ x^2-12x+19 }{ (x-6)^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{f^{\prime \prime}(x)
}
{ =} { \left( \frac{ x^2-12x+19 }{ (x-6)^2 } \right)'
}
{ =} { { \frac{ (2x-12)( x-6)^2 -2 (x^2-12x+19) (x-6) }{ (x-6)^4 } }
}
{ =} { 2 { \frac{ ( x-6)^2 - (x^2-12x+19) }{ (x-6)^3 } }
}
{ =} { 2 { \frac{ 17 }{ (x-6)^3 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 34 }{ (x-6)^3 } }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(-1)
}
{ =} { { \frac{ 1+4+5 }{ -7 } }
}
{ =} { - { \frac{ 10 }{ 7 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(-1)
}
{ =} { { \frac{ 1 + 12 +19 }{ (-7)^2 } }
}
{ =} { { \frac{ 32 }{ 49 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^{\prime \prime} (-1)
}
{ =} { { \frac{ 34 }{ (-7)^3 } }
}
{ =} { - { \frac{ 34 }{ 343 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist die Taylorentwicklung in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bis zum Grad $2$ gleich
\mathdisp {- { \frac{ 10 }{ 7 } } + { \frac{ 32 }{ 49 } } (x+1)- { \frac{ 17 }{ 343 } } (x+1)^2} { . }
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4 (3+1)}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 24 } } X^4 - { \frac{ 1 }{ 2 } } X^2+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Bestimme die kleinste positive Nullstelle von $P$.
} {Besteht ein Zusammenhang zwischen dieser Nullstelle und ${ \frac{ \pi }{ 2 } }$?
}
}
{
\aufzaehlungzwei {Wir lösen die biquadratische Gleichung, indem wir mit $24$ multiplizieren und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{x^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
setzen. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y^2-12y+24
}
{ =} { { \left( y-6 \right) }^2 -36+24
}
{ =} { { \left( y-6 \right) }^2 -12
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu lösen, also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_{1,2}
}
{ =} { \pm \sqrt{12} + 6
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist in jedem Fall positiv und die kleinere Lösung ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} {6 - \sqrt{12}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { \sqrt{ 6 - \sqrt{12} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die kleinste Nullstelle des Ausgangspolynoms.
} {Da die Kosinusreihe gleich
\mathl{\sum_{ n = 0}^\infty \frac{ (-1)^{ n } x^{2n} }{(2n)!}}{} ist, handelt es sich bei dem angegebenen Polynom um eine polynomiale Approximation der Kosinusfunktion. Da
\mathl{\pi/2}{} die kleinste positive Nullstelle des Kosinus ist, besteht ein gewisser Zusammenhang zwischen den beiden Zahlen.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{9 (1+1+2+5)}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {x^2-3x+2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(x)
}
{ =} { 2x+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungvier{Bestimme die Nullstellen von $f$.
}{Bestimme das globale Minimum von $f$.
}{Finde mit einer Genauigkeit von ${ \frac{ 1 }{ 8 } }$ ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{[0,1]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Die Graphen zu $f$ und zu $g$ begrenzen eine endliche Fläche. Skizziere die Situation und berechne den Flächeninhalt der eingegrenzten Fläche.
}
}
{
\aufzaehlungvier{Es sind
\mathkor {} {1} {und} {2} {}
die Nullstellen von $f$.
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(x)
}
{ =} {2x-3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der einzigen Nullstelle bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { { \frac{ 3 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dort liegt das globale isolierte Minimum mit dem Wert
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f \left( \frac{ 3 }{ 2 } \right)
}
{ =} {{ \frac{ 9 }{ 4 } } -3 \left( \frac{ 3 }{ 2 } \right) +2
}
{ =} { -{ \frac{ 1 }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vor.
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(0)
}
{ =} {2
}
{ >} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(1)
}
{ =} {0
}
{ <} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
deshalb muss es nach dem Zwischenwertsatz eine Stelle geben, wo $f$ den Wert $1$ annimmt. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f \left( \frac{ 1 }{ 2 } \right)
}
{ =} { \left( \frac{ 1 }{ 2 } \right)^2 -3 \cdot { \frac{ 1 }{ 2 } } +2
}
{ =} { { \frac{ 3 }{ 4 } }
}
{ <} {1
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Deshalb liegt die gesuchte Stelle in
\mathl{[0, { \frac{ 1 }{ 2 } } ]}{.} Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f \left( \frac{ 1 }{ 4 } \right)
}
{ =} { \left( \frac{ 1 }{ 4 } \right)^2 -3 \cdot { \frac{ 1 }{ 4 } } +2
}
{ =} { { \frac{ 21 }{ 16 } }
}
{ >} {1
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Deshalb liegt die gesuchte Stelle in
\mathl{[ { \frac{ 1 }{ 4 } }, { \frac{ 1 }{ 2 } } ]}{.} Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f \left( \frac{ 3 }{ 8 } \right)
}
{ =} { \left( \frac{ 3 }{ 8 } \right)^2 -3 \cdot { \frac{ 3 }{ 8 } } +2
}
{ =} { { \frac{ 65 }{ 64 } }
}
{ >} {1
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Deshalb liegt die gesuchte Stelle in
\mathl{[ { \frac{ 3 }{ 8 } }, { \frac{ 1 }{ 2 } } ]}{.}
}{Die Gleichsetzung der beiden Funktionen führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2 -5x+1
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1,x_2
}
{ =} { { \frac{ 5 \pm \sqrt{25-4} }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 5 \pm \sqrt{21} }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für die $x$-Koordinate der beiden Schnittpunkte führt. Im Folgenden sei $x_1$ der kleinere Wert. Der in Frage stehende Flächeninhalt ergibt sich, indem man von dem Flächeninhalt des durch $g$, der $x$-Achse und die vertikalen Achsen durch
\mathkor {} {x_1} {und} {x_2} {}
begrenzten Vierecks $V$ die Flächeninhalte unterhalb von $f$ zwischen $x_1$ und $1$ und zwischen
\mathkor {} {2} {und} {x_2} {}
abzieht und den Flächeninhalt der Fläche oberhalb von $f$ zwischen
\mathkor {} {1} {und} {2} {}
dazuaddiert. Der Flächeninhalt des Vierecks ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(x_2-x_1) { \frac{ g(x_1)+g(x_2) }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 5+ \sqrt{21} -5 + \sqrt{21} }{ 2 } } \cdot { \frac{ 12 }{ 2 } }
}
{ =} { 6 \sqrt{21}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Eine Stammfunktion zu $f$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(x)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } }x^3 - { \frac{ 3 }{ 2 } } x^2 +2x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
die relevanten Werte sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(1)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } } - { \frac{ 3 }{ 2 } } +2
}
{ =} { { \frac{ 5 }{ 6 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(2)
}
{ =} { { \frac{ 8 }{ 3 } } - 6 +4
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{F(x_1)
}
{ =} {{ \frac{ 1 }{ 3 } }\left( \frac{ 5 - \sqrt{21} }{ 2 } \right)^3 - { \frac{ 3 }{ 2 } } \left( \frac{ 5 - \sqrt{21} }{ 2 } \right)^2+ 2 \left( \frac{ 5 - \sqrt{21} }{ 2 } \right)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } }\left( \frac{ 125 - 75 \sqrt{21} + 15 \cdot 21 -21 \sqrt{21} }{ 8 } \right) - { \frac{ 3 }{ 2 } } \left( \frac{ 25 - 10 \sqrt{21} + 21 }{ 4 } \right)+ 5 - \sqrt{21}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } }\left( \frac{ 440 - 96 \sqrt{21} }{ 8 } \right) - { \frac{ 3 }{ 2 } } \left( \frac{ 46 - 10 \sqrt{21} }{ 4 } \right)+ 5 - \sqrt{21}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } }{ \left( 55 - 12 \sqrt{21} \right) } - 3 \left( \frac{ 23 - 5 \sqrt{21} }{ 4 } \right)+ 5 - \sqrt{21}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 55 }{ 3 } } - { \frac{ 69 }{ 4 } }+ 5 + { \left( - 4 + { \frac{ 15 }{ 4 } } -1 \right) } \sqrt{21}
}
{ =} { { \frac{ 73 }{ 12 } } - { \frac{ 5 }{ 4 } } \sqrt{21}
}
{ } {}
{ } {}
}{}{,}
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{F(x_2)
}
{ =} {{ \frac{ 1 }{ 3 } }\left( \frac{ 5 + \sqrt{21} }{ 2 } \right)^3 - { \frac{ 3 }{ 2 } } \left( \frac{ 5+ \sqrt{21} }{ 2 } \right)^2+ 2 \left( \frac{ 5 + \sqrt{21} }{ 2 } \right)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } }\left( \frac{ 125 + 75 \sqrt{21} + 15 \cdot 21 +21 \sqrt{21} }{ 8 } \right)- { \frac{ 3 }{ 2 } } \left( \frac{ 25+ 10 \sqrt{21} + 21 }{ 4 } \right)+ 5 + \sqrt{21}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } }\left( \frac{ 440+ 96 \sqrt{21} }{ 8 } \right) - { \frac{ 3 }{ 2 } } \left( \frac{ 46 + 10 \sqrt{21} }{ 4 } \right)+ 5 + \sqrt{21}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } }{ \left( 55 + 12 \sqrt{21} \right) } - 3 \left( \frac{ 23+ 5 \sqrt{21} }{ 4 } \right)+ 5 + \sqrt{21}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 55 }{ 3 } } - { \frac{ 69 }{ 4 } }+ 5 + { \left( 4 - { \frac{ 15 }{ 4 } } +1 \right) } \sqrt{21}
}
{ =} { { \frac{ 73 }{ 12 } }+ { \frac{ 5 }{ 4 } } \sqrt{21}
}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
Der gesuchte Flächeninhalt ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{A
}
{ =} { 6 \sqrt{21} - (F(1)-F(x_1)) + \betrag { F(2)-F(1) } -(F(x_2)-F(2))
}
{ =} { 6 \sqrt{21} - F(1)+F(x_1) + F(1)-F(2) -F(x_2) +F(2)
}
{ =} { 6 \sqrt{21} +F(x_1) -F(x_2)
}
{ =} { 6 \sqrt{21} +{ \frac{ 73 }{ 12 } }- { \frac{ 5 }{ 4 } } \sqrt{21} -{ \frac{ 73 }{ 12 } }- { \frac{ 5 }{ 4 } } \sqrt{21}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 7 }{ 2 } } \sqrt{21}
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { x^2 \ln x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf $\R_+$.
}
{
Mit partieller Integration erhält man die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_a^b x^2 \ln x dx
}
{ =} { \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } x^3 \ln x \right) | _{ a } ^{ b } - \int_a^b { \frac{ 1 }{ 3 } } x^2 dx
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daher ist
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } x^3 \ln x - { \frac{ 1 }{ 9 } } x^3} { }
eine Stammfunktion zu $f$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Bestimme die konstanten Lösungen der
\definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'
}
{ =} { { \frac{ \cos \left( \cos t^2 \right) - e^{ t^3 } }{ ( t^{4} +9) e^{-t^2} + \sqrt{t^4+ e^{t} } } } { \left( y^2-y-3 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
}
{
Es liegt eine Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} { g(t) h(y)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit getrennten Variablen vor, für die konstanten Lösungen sind nur die Nullstellen von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h(y)
}
{ = }{y^2-y-3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
relevant. Diese sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { { \frac{ \pm \sqrt{13}+1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit sind die konstanten Lösungen gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y(t)
}
{ =} { { \frac{ \sqrt{13}+1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y(t)
}
{ =} { { \frac{ - \sqrt{13}+1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}