Kurs:Analysis/Teil I/27/Klausur mit Lösungen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 3 4 6 5 2 4 4 7 2 3 4 9 3 2 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Gruppe.
  2. Das Minimum einer Teilmenge in einem angeordneten Körper .
  3. Ein Häufungspunkt einer Folge in einem angeordneten Körper .
  4. Der Logarithmus zur Basis , , einer positiven reellen Zahl .
  5. Die -fache stetige Differenzierbarkeit einer Funktion

    auf einer offenen Teilmenge .

  6. Das Oberintegral einer nach oben beschränkten Funktion

    auf einem beschränkten Intervall .


Lösung

  1. Eine Menge mit einem ausgezeichneten Element und mit einer Verknüpfung

    heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

    1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle gilt
    2. Das Element ist ein neutrales Element, d.h. für alle gilt
    3. Zu jedem gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein mit
  2. Ein Element mit für alle heißt Minimum von .
  3. Es sei eine Folge in . Ein Element heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes unendlich viele Folgenglieder mit gibt.
  4. Der Logarithmus zur Basis , , von ist durch

    definiert.

  5. Man sagt, dass -mal stetig differenzierbar ist, wenn n-mal differenzierbar ist und die n-te Ableitung stetig ist.
  6. Das Oberintegral ist definiert als das Infimum von sämtlichen Treppenintegralen zu oberen Treppenfunktionen von .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper .
  2. Das Weierstraß-Kriterium für Funktionenfolgen.
  3. Der Satz über die Ableitung in einem lokalen Extremum.


Lösung

  1. Ein von verschiedenes Polynom vom Grad besitzt maximal Nullstellen.
  2. Es sei eine Menge und sei

    eine Funktionenfolge mit

    Dann konvergiert die Reihe gleichmäßig und punktweise absolut gegen eine Funktion

  3. Es sei offen und sei

    eine Funktion, die in ein lokales Extremum besitze und dort differenzierbar sei. Dann ist


Aufgabe (3 Punkte)

Nehmen Sie Stellung zur folgenden Aussage: „Das Prinzip „Beweis durch Widerspruch“ ist offenbar absurd. Wenn man alles annehmen darf, so kann man immer einen Widerspruch erzielen und somit alles beweisen“.


Lösung Widerspruchsbeweis/Einwand/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien und Mengen und seien und Teilmengen. Zeige die Gleichheit


Lösung

Wir zeigen die beiden Inklusionen. Es sei zunächst

Dies bedeutet

und

Dies bedeutet einerseits und andererseits . Also ist .

Wenn umgekehrt gilt, so ist und . Wegen der Teilmengenbeziehungen und ist

und

und damit auch


Aufgabe (6 (1+1+1+1+2) Punkte)

Bei einer Fernsehaufzeichnung sitzen Zuschauer im Studio, die über ein elektronisches Gerät auf verschiedene Fragen mit Ja oder Nein antworten und wobei das Ergebnis (die Ja-Antworten) in vollen Prozent auf einem Bildschirm erscheint und wobei ab nach oben gerundet wird.

a) Erstelle eine Formel mit Hilfe der Gaußklammer , die bei gegebenem aus die Prozentzahl berechnet.

b) Für welche ist die Prozentabbildung aus a) injektiv und für welche surjektiv?

c) Es sei . Welche Prozentzahl tritt nie auf dem Bildschirm auf?

d) Es sei . Hinter welcher Prozentzahl können sich unterschiedlich viele Ja-Stimmen verbergen?

e) Es sei . Hinter welchen Prozentzahlen können sich unterschiedlich viele Ja-Stimmen verbergen?


Lösung

a) Die ganze Prozentzahl wird bei Ja-Antworten von Zuschauern bei der angegebenen Rundung durch

berechnet.

b) Für ist die Abbildung aus Anzahlgründen nicht surjektiv. Sie ist injektiv, da der ungerundete Prozentwert einer Person größer als ist und daher die Hinzunahme einer Person die gerundete Prozentanzahl um mindestens erhöht. Für ist die Abbildung die Identität, also injektiv und surjektiv. Für ist die Abbildung aus Anzahlgründen nicht injektiv. Sie ist surjektiv, da der ungerundete Prozentwert einer Person weniger als ist und daher die Hinzunahme einer Person die gerundete Prozentanzahl um höchstens erhöht.

c) Die Prozentzahl kommt nicht vor. Für ist das Ergebnis

(wegen ) und für ist das Ergebnis

(wegen ).

d) Die Prozentzahl kommt doppelt vor. Für ist das Ergebnis

(wegen ) und für ist das Ergebnis

(wegen ).

e) Die Prozentzahl kommt doppelt vor. Für ist das Ergebnis

(wegen ) und für ist das Ergebnis ebenfalls

(wegen ). Wegen der Symmetrie der Situation (bis auf die Rundung) kommt auch die Prozentzahl doppelt vor, für .


Aufgabe (5 Punkte)

Es seien und reelle Zahlen. Zeige


Lösung

Wegen

ist

Wir können also die Abschätzungen nachweisen, wenn wir mit multiplizieren. Die linke Abschätzung folgt somit aus

Für die rechte Abschätzung ist

nachzuweisen. Aus der obigen Abschätzung ergibt sich bzw. , was

bestätigt.


Aufgabe (2 Punkte)

Löse die lineare Gleichung

über und berechne den Betrag der Lösung.


Lösung

Es ist

Der Betrag ist


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise das Quotientenkriterium für Reihen.


Lösung

Die Konvergenz ändert sich nicht, wenn man endlich viele Glieder ändert. Daher können wir annehmen. Ferner können wir annehmen, dass alle positive reelle Zahlen sind. Es ist

Somit folgt die Konvergenz aus dem Majorantenkriterium und der Konvergenz der geometrischen Reihe.


Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

  1. Skizziere die Graphen der Funktionen

    und

  2. Bestimme die Schnittpunkte der beiden Graphen.


Lösung

  1. Die Schnittbedingung führt auf

    bzw. auf

    Quadratisches Ergänzen führt auf

    also

    Somit ist

    die -Koordinate des einzigen Schnittpunktes (die negative Wurzel führt zu einem Punkt außerhalb des Definitionsbereiches). Der einzige Schnittpunkt ist


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über die stetige Fortsetzbarkeit einer Funktion , wobei eine Teilmenge ist.


Lösung

Aufgrund von Satz 14.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) genügt es zu zeigen, dass der Grenzwert für jedes existiert. Es sei eine Folge in , die gegen konvergiert. Wir zeigen, dass dann auch die Bildfolge konvergiert. Da diese Bildfolge in ist, und vollständig ist, genügt es zu zeigen, dass eine Cauchy-Folge vorliegt. Sei vorgegeben. Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von gibt es ein derart, dass für alle mit ist. Wegen der Konvergenz der Folge handelt es sich nach Lemma 6.8 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) um eine Cauchy-Folge und daher gibt es ein mit für alle . Somit gilt

für alle .
Wir müssen nun noch zeigen, dass für jede gegen konvergente Folge der Grenzwert der Bildfolge gleich ist. Dies ergibt sich aber sofort, wenn man für zwei Folgen und die Folge betrachtet, die ebenfalls gegen konvergiert, und für die der Limes der Bildfolge mit den Limiten der Teilbildfolgen übereinstimmt.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion


Lösung

Da der Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist, können wir Satz 18.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) anwenden und erhalten mit [[Reelle Exponentialfunktion/Ableitung/Fakt|Satz . (Analysis (Osnabrück 2021-2023))]]


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Taylorentwicklung der Funktion

im Punkt bis zum Grad .


Lösung

Die ersten beiden Ableitungen von sind

und

Somit ist

Somit ist die Taylorentwicklung in bis zum Grad gleich


Aufgabe (4 (3+1) Punkte)

Es sei

  1. Bestimme die kleinste positive Nullstelle von .
  2. Besteht ein Zusammenhang zwischen dieser Nullstelle und ?


Lösung

  1. Wir lösen die biquadratische Gleichung, indem wir mit multiplizieren und setzen. Es ist

    zu lösen, also ist

    Dies ist in jedem Fall positiv und die kleinere Lösung ist

    Somit ist

    die kleinste Nullstelle des Ausgangspolynoms.

  2. Da die Kosinusreihe gleich ist, handelt es sich bei dem angegebenen Polynom um eine polynomiale Approximation der Kosinusfunktion. Da die kleinste positive Nullstelle des Kosinus ist, besteht ein gewisser Zusammenhang zwischen den beiden Zahlen.


Aufgabe (9 (1+1+2+5) Punkte)

Es sei

und

  1. Bestimme die Nullstellen von .
  2. Bestimme das globale Minimum von .
  3. Finde mit einer Genauigkeit von ein mit
  4. Die Graphen zu und zu begrenzen eine endliche Fläche. Skizziere die Situation und berechne den Flächeninhalt der eingegrenzten Fläche.


Lösung

  1. Es sind und die Nullstellen von .
  2. Es ist

    mit der einzigen Nullstelle bei

    Dort liegt das globale isolierte Minimum mit dem Wert

    vor.

  3. Es ist

    und

    deshalb muss es nach dem Zwischenwertsatz eine Stelle geben, wo den Wert annimmt. Es ist

    Deshalb liegt die gesuchte Stelle in . Es ist

    Deshalb liegt die gesuchte Stelle in . Es ist

    Deshalb liegt die gesuchte Stelle in .

  4. Die Gleichsetzung der beiden Funktionen führt auf

    was auf

    für die -Koordinate der beiden Schnittpunkte führt. Im Folgenden sei der kleinere Wert. Der in Frage stehende Flächeninhalt ergibt sich, indem man von dem Flächeninhalt des durch , der -Achse und die vertikalen Achsen durch und begrenzten Vierecks die Flächeninhalte unterhalb von zwischen und und zwischen und abzieht und den Flächeninhalt der Fläche oberhalb von zwischen und dazuaddiert. Der Flächeninhalt des Vierecks ist

    Eine Stammfunktion zu ist

    die relevanten Werte sind

    Der gesuchte Flächeninhalt ist


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion zu

auf .


Lösung

Mit partieller Integration erhält man die Beziehung

und daher ist

eine Stammfunktion zu .


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die konstanten Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung


Lösung

Es liegt eine Differentialgleichung

mit getrennten Variablen vor, für die konstanten Lösungen sind nur die Nullstellen von relevant. Diese sind

Somit sind die konstanten Lösungen gleich

und