Kurs:Analysis/Teil I/4/Klausur mit Lösungen/latex

%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 2 }

\renewcommand{\avier}{ 3 }

\renewcommand{\afuenf}{ 7 }

\renewcommand{\asechs}{ 4 }

\renewcommand{\asieben}{ 4 }

\renewcommand{\aacht}{ 4 }

\renewcommand{\aneun}{ 3 }

\renewcommand{\azehn}{ 5 }

\renewcommand{\aelf}{ 7 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 10 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ }

\renewcommand{\aachtzehn}{ }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellefuenfzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {bijektive} {} Abbildung \maabbdisp {f} {M} {N } {.}

}{Eine \stichwort {Teilfolge} {} einer Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem angeordneten Körper $K$.

}{Das \stichwort {Maximum} {} der Funktion \maabbdisp {f} {M} {\R } {} wird im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \stichwort {angenommen} {.}

}{Die \stichwort {Potenzreihe} {} in $z \in {\mathbb C}$ zu den Koeffizienten
\mathbed {c_n \in {\mathbb C}} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {.}

}{Eine \stichwort {obere Treppenfunktion} {} zu einer Funktion \maabbdisp {f} {I} {\R } {} auf einem beschränkten Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.}

}{Eine \stichwort {homogene lineare eindimensionale} {} gewöhnliche Differentialgleichung. }

}
{

\aufzaehlungsechs{Die Abbildung $f$ heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist. }{Zu jeder \definitionsverweis {streng wachsenden}{}{} \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbele {} {\N} {\N } {i} {n_i } {,} heißt die Folge
\mathdisp {i \mapsto x_{n_i}} { }
eine Teilfolge der Folge. }{Man sagt, dass $f$ in
\mathl{x \in M}{} das Maximum annimmt, wenn
\mathdisp {f(x) \geq f(x') \text{ für alle } x' \in M \text{ gilt}} { . }
}{Die Potenzreihe in $z$ ist die \definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty c_n z^{ n }} { . }
}{Eine \definitionsverweis {Treppenfunktion}{}{} \maabbdisp {t} {I} {\R } {} heißt eine obere Treppenfunktion zu $f$, wenn
\mathl{t(x) \geq f(x)}{} für alle
\mathl{x \in I}{} ist. }{Eine \definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{} der Form
\mathdisp {y'=g(t)y} { }
mit einer \definitionsverweis {Funktion}{}{} \zusatzklammer {$I$ reelles Intervall} {} {} \maabbeledisp {g} {I} {\R } {t} {g(t) } {,} heißt homogene lineare Differentialgleichung. }


}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Die \stichwort {Bernoulli-Ungleichung} {} für einen angeordneten Körper $K$.}{Die \stichwort {Division mit Rest} {} im Polynomring
\mathl{K[X]}{} über einem Körper $K$.}{Der Satz über \stichwort {partielle Integration} {.}}

}
{

\aufzaehlungdrei{Für
\mathl{x \geq -1}{} und
\mathl{n \in \N}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(1+x)^n }
{ \geq} { 1+nx }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}{Es seien
\mathl{P,T \in K[X]}{} zwei Polynome mit
\mathl{T \neq 0}{.} Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome
\mathl{Q,R \in K[X]}{} mit
\mathdisp {P = T Q + R \text{ und mit } \operatorname{grad} \, (R) < \operatorname{grad} \, (T) \text{ oder } R = 0} { . }
}{Es seien \maabbdisp {f,g} {[a,b]} {\R } {}stetig differenzierbare Funktionen. Dann gilt
\mathdisp {\int_{ a }^{ b } f(t)g'(t) \, d t = fg | _{ a } ^{ b } - \int_{ a }^{ b } f'(t)g(t) \, d t} { . }
}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{

Die Biologin Sandra O'Neil ist eine renommierte Forscherin über Bakterien. Ihr Institut hat ein hochauflösendes Mikroskop erworben, das auf dem Bildschirm die Wirklichkeit im Verhältnis
\mathl{3:10^{7}}{} wiedergibt. Auf dem Bildschirm ist die Geißel des Bakteriums
\mathl{21}{} cm lang und dreimal so lang wie das Bakterium selbst. Auf dem Bakterium befindet sich ein roter Punkt, dessen Flächeninhalt auf dem Bildschirm $2$ Quadratzentimeter einnimmt. \aufzaehlungzwei {Wie lang ist das Bakterium in Wirklichkeit? } {Welchen Flächeninhalt hat der rote Punkt in Wirklichkeit? }

}
{

Der Faktor von der wirklichen Länge zur Bildschirmlänge ist $10^{7}/3$, der umgekehrte Faktor ist $3 \cdot 10^{-7}$. \aufzaehlungzwei {Die Länge des Bakteriums auf dem Bildschirm ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 3 } } \cdot 21 cm }
{ =} { 7 cm }
{ =} { 7 \cdot 10^{-2} m }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Deshalb ist die wirkliche Länge des Bakteriums gleich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 7 \cdot 10^{-2} \cdot 3 \cdot 10^{-7} }
{ = }{ 21 \cdot 10^{-9} }
{ = }{ 2,1 \cdot 10^{-8} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in Meter, also $21$ Nanometer. } {Der Flächeninhalt im Mikroskop ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2 cm^2 }
{ =} { 2 \cdot 10^{-4} m^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Um den wahren Flächeninhalt zu bestimmen, muss man den umgekehrten Faktor quadrieren. Der wahre Flächeninhalt des roten Punktes ist somit gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2 \cdot 10^{-4} \cdot { \left( 3 \cdot 10^{-7} \right) }^2 }
{ =} { 18 \cdot 10^{-18} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Quadratmeter. }


}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ = }{7 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit dem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0 }
{ = }{3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} durch \zusatzklammer {es sollen also die Approximationen
\mathl{x_1,x_2,x_3}{} für $\sqrt{7}$ berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden} {} {.}

}
{

Die Formel für
\mathl{x_{n+1}}{} lautet
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_{n+1} }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( x_n + { \frac{ 7 }{ x_n } } \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_1 }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( 3 + { \frac{ 7 }{ 3 } } \right) } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( { \frac{ 9+7 }{ 3 } } \right) } }
{ =} {{ \frac{ 16 }{ 6 } } }
{ =} {{ \frac{ 8 }{ 3 } } }
} {}{}{.} Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_2 }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( { \frac{ 8 }{ 3 } } + { \frac{ 7 }{ 8/3 } } \right) } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( { \frac{ 8 }{ 3 } } + { \frac{ 21 }{ 8 } } \right) } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 64+63 }{ 24 } } }
{ =} { { \frac{ 127 }{ 48 } } }
} {}{}{.} Schließlich ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_3 }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( { \frac{ 127 }{ 48 } } + { \frac{ 7 }{ 127/48 } } \right) } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( { \frac{ 127 }{ 48 } } + { \frac{ 336 }{ 127 } } \right) } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 16129+16128 }{ 6096 } } }
{ =} { { \frac{ 32257 }{ 12192 } } }
} {}{}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{7}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine reelle Folge. Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert, wenn sie genau einen Häufungspunkt besitzt.

}
{

Es sei zunächst die Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} konvergent mit Grenzwert $x$. Dann ist die Folge nach Lemma 5.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) beschränkt. Der Grenzwert $x$ ist insbesondere ein Häufungspunkt. Nehmen wir an, es würde noch einen weiteren Häufungspunkt $y \neq x$ geben. Für
\mathl{\epsilon = { \frac{ \betrag { x-y } }{ 3 } }}{} liegen dann aber alle bis auf endlich viele Folgenglieder innerhalb der $\epsilon$-Umgebung \zusatzklammer {also \mathlk{]x- \epsilon,x+\epsilon[}{}} {} {} von $x$, und daher kann es innerhalb der $\epsilon$-Umgebung von $y$ nur endlich viele Glieder geben.

Es sei nun die Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} beschränkt mit dem einzigen Häufungspunkt $x$. Wir behaupten, dass die Folge gegen $x$ konvergiert und nehmen an, dass sie nicht gegen $x$ konvergiert. Dann gibt es ein
\mathl{\epsilon >0}{} derart, dass es außerhalb der $\epsilon$-Umgebung von $x$ unendlich viele Folgenglieder gibt. Dies bedeutet, dass es eine Teilfolge
\mathl{x_{n_i}}{} gibt, die ganz außerhalb von \mathlk{]x- \epsilon,x+\epsilon[}{} verläuft. Mit der Folge ist auch diese Teilfolge beschränkt. Daher gibt es nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß \zusatzklammer {eine konvergente Teilfolge und} {} {} einen Häufungspunkt $y$ der Folge
\mathl{x_{n_i}}{,} der auch ein Häufungspunkt von
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} ist. Dabei ist
\mathl{x \neq y}{,} da es in der $\epsilon$-Umgebung von $x$ überhaupt keine Folgenglieder der Teilfolge
\mathl{x_{n_i}}{} gibt.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Beweise das Quotientenkriterium für Reihen.

}
{

Die Konvergenz ändert sich nicht, wenn man endlich viele Glieder ändert. Daher können wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k_0 }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} annehmen. Ferner können wir annehmen, dass alle $a_k$ \definitionsverweis {positive}{}{} \definitionsverweis {reelle Zahlen}{}{} sind. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_k }
{ =} { \frac{a_k}{a_{k-1} } \cdot \frac{a_{k-1} }{a_{k-2} } { \cdots } \frac{a_1}{a_{0} } \cdot a_0 }
{ \leq} { a_0 \cdot q^k }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Somit folgt die Konvergenz aus dem Majorantenkriterium und der Konvergenz der \definitionsverweis {geometrischen Reihe}{}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{4 (2+2)}
{

Es seien die beiden Polynome
\mathdisp {P=X^2+3X-5 \text{ und } Q= X^2-4X+7} { }
gegeben.

a) Berechne
\mathl{P(Q)}{} \zusatzklammer {es soll also $Q$ in $P$ eingesetzt werden} {} {.}

b) Berechne die Ableitung von
\mathl{P(Q)}{} direkt und mit Hilfe der Kettenregel.

}
{

a) Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{P(Q) }
{ =} {(X^2-4X+7)^2+3(X^2-4X+7) -5 }
{ =} {X^4 +16X^2+49 -8X^3+14X^2-56X +3X^2-12X+21 -5 }
{ =} { X^4-8X^3+33X^2-68X+65 }
{ } { }
} {} {}{.}

b) Die Ableitung von
\mathl{P(Q)}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(X^4-8X^3+33X^2-68X+65)^\prime }
{ =} {4X^3 -24X^2 +66X-68 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

Es ist
\mathl{P'=2X+3}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P'(Q) }
{ =} { 2(X^2-4X+7) +3 }
{ =} {2X^2-8X+17 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Nach der Kettenregel ist daher
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{(P(Q))^\prime }
{ =} {P'(Q) \cdot Q' }
{ =} { ( 2X^2-8X+17 ) (2X-4) }
{ =} { 4X^3-8X^2 -16X^2+32X+34X-68 }
{ =} { 4X^3-24X^2+66X-68 }
} {} {}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Es sei
\mathl{a \in \R}{} und seien \maabbdisp {f,g} {\R} {\R } {} stetige Funktionen mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(a) }
{ >} {g(a) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass es ein
\mathl{\delta >0}{} derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ >} {g(x) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mathl{x \in [a - \delta,a + \delta]}{} gilt.

}
{

Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c }
{ \defeq} { f(a) -g(a) }
{ >} {0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Da \mathkor {} {f} {und} {g} {} stetig sind, gibt es zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\epsilon }
{ \defeq} { { \frac{ c }{ 3 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} positive Zahlen \mathkor {} {\delta_1} {bzw.} {\delta_2} {} derart, dass aus
\mathl{\betrag { x-a } \leq \delta_1}{} die Abschätzung
\mathl{\betrag { f(x)-f(a) } \leq \epsilon}{} und aus
\mathl{\betrag { x-a } \leq \delta_2}{} die Abschätzung
\mathl{\betrag { g(x)-g(a) } \leq \epsilon}{} folgt. Mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\delta }
{ \defeq} { {\min { \left( \delta_1, \delta_2 , \right) } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt somit für jedes
\mathl{x \in [a- \delta, a+ \delta]}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ \geq} { f(a) - \epsilon }
{ >} { g(a) + \epsilon }
{ \geq} { g(x) }
{ } { }
} {}{}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer vierten Potenz, vermindert um das Doppelte ihrer dritten Potenz, gleich dem Negativen der Quadratwurzel von $42$ ist?

}
{

Es geht um eine reelle Lösung für die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ =} { x^4 -2 x^3 }
{ =} { - \sqrt{42} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Für
\mathl{x<0}{} und
\mathl{x >2}{} ist
\mathl{f(x)=x^3 (x-2) >0}{,} es kann also allenfalls in
\mathl{[0,2]}{} eine Lösung geben. Dazu bestimmen wir, wo die Funktion $f$ ihr Minimum annimmt. Für die Ableitung gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(x) }
{ =} { 4x^3 -6 x^2 }
{ =} {2x^2 (2x-3) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} An den beiden Nullstellen \mathkor {} {0} {und} {{ \frac{ 3 }{ 2 } }} {} sind die Werte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(0) }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f { \left( { \frac{ 3 }{ 2 } } \right) } }
{ =} {{ \frac{ 27 }{ 8 } } { \left( { \frac{ 3 }{ 2 } } -2 \right) } }
{ =} {{ \frac{ 27 }{ 8 } } { \left( - { \frac{ 1 }{ 2 } } \right) } }
{ =} {- { \frac{ 27 }{ 16 } } }
{ >} {-2 }
} {
\vergleichskettefortsetzung
{ >} { - \sqrt{42} }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.} Also ist das Minimum von $f$ größer als
\mathl{- \sqrt{42}}{} und es gibt keine Lösung.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{

Beweise den Satz über die lineare Approximation einer Funktion \maabbdisp {f} {{\mathbb K}} {{\mathbb K} } {} in einem Punkt
\mathl{a \in {\mathbb K}}{.}

}
{

Wenn $f$ \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist, so setzen wir
\mathl{s:=f'(a)}{.} Für die Funktion $r$ muss notwendigerweise
\mathdisp {r(x) =\begin{cases} \frac{ f (x )-f (a) }{ x -a } - s \text{ für } x \neq a\, , \\ 0 \text{ für } x=a \, , \end{cases}} { }
gelten, um die Bedingungen zu erfüllen. Aufgrund der Differenzierbarkeit existiert der Limes
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{\operatorname{lim}_{ x \rightarrow a , \, x \in {\mathbb K} \setminus \{a\} } r(x) }
{ =} { \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a , \, x \in {\mathbb K} \setminus \{a\} } { \left( \frac{ f (x )-f (a) }{ x -a }-s \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} und hat den Wert $0$. Dies bedeutet, dass $r$ in $a$ stetig ist.

Wenn umgekehrt \mathkor {} {s} {und} {r} {} mit den angegebenen Eigenschaften existieren, so gilt für
\mathl{x \neq a}{} die Beziehung
\mathdisp {\frac{ f (x )-f (a) }{ x -a } = s + r(x)} { . }
Da $r$ stetig in $a$ ist, muss auch der Limes links für
\mathl{x \rightarrow a}{} existieren.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{7 (3+3+1)}
{

Zeige, dass die Sinus- bzw. die Kosinusfunktion die folgenden Werte besitzt.

a)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin { \frac{ \pi }{ 4 } } }
{ =} { \cos { \frac{ \pi }{ 4 } } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

b)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos { \frac{ \pi }{ 3 } } }
{ =} {{ \frac{ 1 }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

c)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin { \frac{ \pi }{ 3 } } }
{ =} {{ \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{

a) Es ist
\mathl{\sin \left( z+ { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) = \cos z}{} nach [[Sinus und Kosinus/R/Periodizitätseigenschaften/Fakt|Satz . (Analysis (Osnabrück 2021-2023))  (3)]]. Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin \left( { \frac{ \pi }{ 4 } } \right) }
{ =} {\sin \left( - { \frac{ \pi }{ 4 } } + { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) }
{ =} {\cos \left( - { \frac{ \pi }{ 4 } } \right) }
{ =} {\cos \left( { \frac{ \pi }{ 4 } } \right) }
{ } { }
} {}{}{,} da Kosinus eine gerade Funktion ist. Aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1 }
{ =} { \sin^{ 2 } { \left( { \frac{ \pi }{ 4 } } \right) } + \cos^{ 2 } { \left( { \frac{ \pi }{ 4 } } \right) } }
{ =} { 2 \sin^{ 2 } { \left( { \frac{ \pi }{ 4 } } \right) } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin^{ 2 } { \left( { \frac{ \pi }{ 4 } } \right) } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Da
\mathl{\sin { \frac{ \pi }{ 4 } } >0}{} ist, ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin { \frac{ \pi }{ 4 } } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{2 } }} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

b) Nach den Additionstheoremen für Sinus und Kosinus ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \sin \left( 3 \alpha \right) }
{ =} { \cos \alpha \sin \left( 2 \alpha \right) + \cos \left( 2 \alpha \right) \sin \alpha }
{ =} { \cos \alpha { \left( 2 \cos \alpha \sin \alpha \right) } + { \left( \cos^{ 2 } \alpha - \sin^{ 2 } \alpha \right) } \sin \alpha }
{ =} { \sin \alpha { \left( 3 \cos^{ 2 } \alpha - \sin^{ 2 } \alpha \right) } }
{ =} { \sin \alpha { \left( 4 \cos^{ 2 } \alpha - 1 \right) } }
} {} {}{.} Für
\mathl{\alpha = { \frac{ \pi }{ 3 } }}{} ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ =} { \sin \pi }
{ =} {\sin { \frac{ \pi }{ 3 } } { \left( 4 \cos^{ 2 } { \frac{ \pi }{ 3 } } - 1 \right) } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin { \frac{ \pi }{ 3 } } }
{ \neq} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0 }
{ =} { 4 \cos^{ 2 } { \frac{ \pi }{ 3 } } - 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} woraus sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos^{ 2 } { \frac{ \pi }{ 3 } } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ergibt. Da
\mathl{\cos { \frac{ \pi }{ 3 } }}{} positiv ist, folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos { \frac{ \pi }{ 3 } } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

c) Aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1 }
{ =} { \cos^{ 2 } { \frac{ \pi }{ 3 } } + \sin^{ 2 } { \frac{ \pi }{ 3 } } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } }+ \sin^{ 2 } { \frac{ \pi }{ 3 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin^{ 2 } { \frac{ \pi }{ 3 } } }
{ =} {{ \frac{ 3 }{ 4 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} woraus sich wegen der Positivität von
\mathl{\sin { \frac{ \pi }{ 3 } }}{} schließlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin { \frac{ \pi }{ 3 } } }
{ =} { { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ergibt.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Bestimme für die Funktion
\mathdisp {f(x)= 2^x + { \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } \right) }^x} { }
die Extrema.

}
{

Wir schreiben
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ f(x) }
{ =} { 2^x + 3^{-x} }
{ =} { e^{x \ln 2 } +e^{ - x \ln 3 } }
{ } { }
{ } { }
} {} {}{.} Zur Bestimmung der Extrema betrachten wir die Ableitung, diese ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(x) }
{ =} { ( \ln 2 ) e^{x \ln 2 } - ( \ln 3) e^{ - x \ln 3 } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Bedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(x) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{}
} {}{}{} führt durch Multiplikation mit
\mathl{e^{x \ln 3 }}{} auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0 }
{ =} { ( \ln 2) e^{ x ( \ln 2 + \ln 3 ) } - \ln 3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Daher muss
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ e^{ x \ln 6 } }
{ =} { { \frac{ \ln 3 }{ \ln 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} sein, woraus sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x \ln 6 }
{ =} { \ln { \left( { \frac{ \ln 3 }{ \ln 2 } } \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x }
{ =} { { \frac{ \ln { \left( { \frac{ \ln 3 }{ \ln 2 } } \right) } }{ \ln 6 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ergibt. Die zweite Ableitung ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ f^{\prime \prime} (x) }
{ =} { ( \ln 2 )^2 e^{x \ln 2 } + ( \ln 3)^2 e^{ - x \ln 3 } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {} {}{} und somit positiv, also liegt im angegebenen Punkt ein isoliertes lokales Minimum vor.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Berechne das bestimmte Integral
\mathdisp {\int_0^1 { \frac{ x }{ \sqrt[3]{5x+1} } } dx} { . }

}
{

Wir arbeiten mit der bijektiven Substitution
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} {\sqrt[3]{5x+1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der Umkehrfunktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} { { \frac{ y^3-1 }{ 5 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{dx }
{ =} { { \frac{ 3y^2 }{ 5 } } dy }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{\int_0^1 { \frac{ x }{ \sqrt[3]{5x+1 } }} dx }
{ =} {\int_1^{ \sqrt[3]{6} } { \frac{ { \frac{ y^3-1 }{ 5 } } }{ y } } \cdot { \frac{ 3y^2 }{ 5 } } dy }
{ =} { { \frac{ 3 }{ 25 } } \int_1^{ \sqrt[3]{6} } y^4 - y dy }
{ =} { { \frac{ 3 }{ 25 } } [ { \frac{ 1 }{ 5 } } y^5 - { \frac{ 1 }{ 2 } } y^2 ]_1^{ \sqrt[3]{6} } }
{ =} { { \frac{ 3 }{ 25 } } { \left( { \frac{ 1 }{ 5 } } { \sqrt[3]{6} }^5 - { \frac{ 1 }{ 2 } } { \sqrt[3]{6} }^2 - { \frac{ 1 }{ 5 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } \right) } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {{ \frac{ 3 }{ 125 } } 6^{ { \frac{ 5 }{ 3 } } } - { \frac{ 3 }{ 50 } } 6^{ { \frac{ 2 }{ 3 } } }+ { \frac{ 9 }{ 250 } } }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{10}
{

Beweise, dass eine stetige Funktion \maabbdisp {f} {[a,b]} { \R } {} \definitionsverweis {Riemann-integrierbar}{}{} ist.

}
{

Die stetige Funktion $f$ ist auf dem kompakten Intervall
\mathl{[a,b]}{} \definitionsverweis {beschränkt}{}{} nach Korollar 13.11 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)). Daher gibt es \definitionsverweis {obere}{}{} und \definitionsverweis {untere Treppenfunktionen}{}{} und daher existieren \definitionsverweis {Oberintegral}{}{} und \definitionsverweis {Unterintegral}{}{.} Wir müssen zeigen, dass sie übereinstimmen. Dazu genügt es, zu einem gegebenen
\mathl{\epsilon>0}{} eine untere und eine obere Treppenfunktion für $f$ anzugeben derart, dass die Differenz ihrer Treppenintegrale $\leq \epsilon$ ist. Nach Lemma 14.2 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist $f$ \definitionsverweis {gleichmäßig stetig}{}{.} Daher gibt es zu
\mathl{\epsilon'=\frac{ \epsilon}{b-a}}{} ein
\mathl{\delta >0}{} derart, dass für alle
\mathbed {x,x' \in I} {mit}
{d { \left( x, x' \right) } \leq \delta} {}
{} {} {} {} die Abschätzung
\mathl{d { \left( f(x), f(x') \right) } \leq \epsilon'}{} gilt. Es sei nun
\mathl{n \in \N}{} so, dass
\mathl{\frac{b-a}{n} \leq \delta}{} ist, und betrachten wir die Unterteilung des Intervalls mit den Punkten
\mathl{a_i=a+ i\frac{b-a}{n}}{.} Auf den Teilintervallen
\mathbed {[a_{i-1},a_{i}]} {}
{i=1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,} ist der Abstand zwischen dem \definitionsverweis {Maximum}{}{}
\mathdisp {t_i = {\max { \left( f(x) , a_{i-1} \leq x \leq a_{i} \right) } }} { }
und dem \definitionsverweis {Minimum}{}{}
\mathdisp {s_i = {\min { \left( f(x) , a_{i-1} \leq x \leq a_{i} \right) } }} { }
kleiner/gleich $\epsilon'$. Die zu diesen Werten gehörigen Treppenfunktionen, also
\mathdisp {t(x):= \begin{cases} t_i \text{ für } x \in [a_{i-1}, a_{i}[ \text{ und } 1 \leq i \leq n-1 \, , \\ t_n \text{ für } x \in [a_{n-1},a_n] \, , \end{cases}} { }
und
\mathdisp {s(x):= \begin{cases} s_i \text{ für } x \in [a_{i-1}, a_{i}[ \text{ und } 1 \leq i \leq n-1 \, , \\ s_n \text{ für } x \in [a_{n-1},a_n] \, ,\end{cases}} { }
sind dann eine obere bzw. untere Treppenfunktion zu $f$. Die Differenz zwischen den zugehörigen Ober- und Untersummen ist dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\sum_{i = 1}^n t_i \frac{b-a}{n} - \sum_{i = 1}^n s_i \frac{b-a}{n} }
{ =} { \sum_{i = 1}^n ( t_i - s_i ) \frac{b-a}{n} }
{ \leq} { \sum_{i = 1}^n \epsilon' \frac{b-a}{n} }
{ =} { \sum_{i = 1}^n \frac{\epsilon}{n} }
{ =} { \epsilon }
} {}{}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{

Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y(t) }
{ \defeq} { { \frac{ 5 }{ 2e^{-5t} +3 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die logistische Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y' }
{ =} { y( 5-3y) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und die Anfangsbedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y(0) }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} erfüllt.

}
{

Es ist einerseits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'(t) }
{ =} { { \frac{ -5 \cdot 2 \cdot (-5) \cdot e^{-5t} }{ (2e^{-5t} +3)^2 } } }
{ =} { { \frac{ 50 e^{-5t} }{ (2e^{-5t} +3)^2 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und andererseits ebenso
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ y(t) ( 5-3y(t) ) }
{ =} { { \frac{ 5 }{ 2e^{-5t} +3 } } { \left( 5-3 { \frac{ 5 }{ 2e^{-5t} +3 } } \right) } }
{ =} { { \frac{ 25 }{ 2e^{-5t} +3 } } - { \frac{ 75 }{ (2e^{-5t} +3)^2 } } }
{ =} { { \frac{ 25 (2e^{-5t} +3) -75 }{ (2e^{-5t} +3)^2 } } }
{ =} { { \frac{ 50 e^{-5t} }{ (2e^{-5t} +3)^2 } } }
} {} {}{.} Ferner ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y(0) }
{ =} { { \frac{ 5 }{ 2e^{0} +3 } } }
{ =} { { \frac{ 5 }{ 2+3 } } }
{ =} { 1 }
{ } { }
} {}{}{.}


}