Kurs:Analysis/Teil I/43/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	5	2	3	2	2	3	1	3	4	5	7	5	3	3	5	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten den Satz „Nachts sind alle Katzen grau“.

1. Negiere diesen Satz durch eine Existenzausssage, wenn der Satz sich auf eine bestimmte Nacht bezieht.
2. Negiere diesen Satz durch eine Existenzausssage, wenn der Satz sich auf jede Nacht bezieht.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Erläutere das Konzept der Wohldefiniertheit anhand eines typischen Beispiels.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass für ${}n\geq 3$ die Abschätzung

${}n^{n+1}\geq (n+1)^{n}\,$

gilt.

Aufgabe * (2 (0.5+0.5+0.5+0.5) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Wertetabelle

${}i$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$
${}a_{i}$	${}2$	${}5$	${}4$	${}-1$	${}3$	${}5$	${}-2$	${}2$

1. Berechne ${}a_{2}+a_{5}$.
2. Berechne ${}\sum _{k=3}^{6}a_{k}$.
3. Berechne ${}\prod _{i=0}^{3}a_{2i+1}$.
4. Berechne ${}\sum _{i=4}^{5}a_{i}^{2}$.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Binomialkoeffizienten die rekursive Beziehung

${}{\binom {n+1}{k}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}\,$

erfüllen.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Mustafa Müller beschließt, sich eine Woche lang ausschließlich von Schokolade seiner Lieblingssorte „Gaumenfreude“ zu ernähren. Eine Tafel besitzt einen Energiewert von ${}2300$ kJ und sein Tagesbedarf an Energie ist ${}10000$ kJ. Wie viele Tafeln muss er am Tag (gerundet auf zwei Nachkommastellen) und wie viele Tafeln muss er in der Woche essen?

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Schreibe die Menge

$]-3,-2[\,\cup \,\{7\}\,\cup \,{\left([-{\frac {5}{2}},-{\frac {1}{3}}]\,\setminus \,]-{\frac {4}{3}},-1]\right)}\,\cup \,[1,{\frac {7}{3}}]\,\cup \,[-{\frac {1}{2}},{\frac {6}{5}}[\,\cup \,{\left(\,]-7,-6]\cap \mathbb {R} _{+}\right)}$

als eine Vereinigung von möglichst wenigen disjunkten Intervallen.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne von Hand die Approximationen ${}x_{1},x_{2},x_{3}$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von ${}5$ zum Startwert ${}x_{0}=2$.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Schreibe das Polynom

$X^{4}-1$

als Produkt von Linearfaktoren in ${}{\mathbb {C} }[X]$.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe ein Polynom ${}P\in \mathbb {Q} [X]$ an, das nicht zu ${}\mathbb {Z} [X]$ gehört, aber die Eigenschaft besitzt, dass für jede ganze Zahl ${}n$ gilt: ${}P(n)\in \mathbb {Z}$.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Gleichung

${}x^{2}+{\frac {1}{x}}=3\,$

eine reelle Lösung im Intervall ${}[1,2]$ besitzt und bestimme diese bis auf einen Fehler von maximal ein Achtel.

Aufgabe * (5 (1+3+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Funktion

${}f(x)=\ln x+{\frac {1}{x}}\,$

auf ${}\mathbb {R} _{+}$.

1. Bestimme die erste und die zweite Ableitung von ${}f$.
2. Bestimme die lokalen Extrema von ${}f$.
3. Bestimme das Monotonieverhalten von ${}f$.

Aufgabe * (7 (2+2+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}f(x)={\frac {x^{2}-3}{x+2}}$ und ${}g(y)={\frac {y+4}{y^{2}-5}}$. Wir betrachten die Hintereinanderschaltung ${}h(x):=g(f(x))$.

1. Berechne ${}h$ (das Ergebnis muss als eine rationale Funktion vorliegen).
2. Berechne die Ableitung von ${}h$ mit Hilfe von Teil 1.
3. Berechne die Ableitung von ${}h$ mit Hilfe der Kettenregel.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Ableitung in einem lokalen Extremum.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad ${}3$ der Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x\cos x,$

im Entwicklungspunkt ${}\pi$.

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die beiden Funktionen

${}f(x)=x^{2}-1\,$

und

${}g(x)=-x^{2}+1\,.$

1. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von ${}f$ und ${}g$
2. Die beiden Graphen schließen eine endliche Fläche ein. Bestimme deren Flächeninhalt.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über das Lösungsverfahren für homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen.