Kurs:Analysis/Teil I/51/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	3	3	2	8	3	10	5	4	2	7	2	4	2	4	5	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Körper.
2. Eine Ordnungsrelation ${}\preccurlyeq$ auf einer Menge ${}I$.
3. Eine Cauchy-Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$.
4. Eine Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ von komplexen Zahlen ${}a_{k}$.
5. Die Stetigkeit in einem Punkt ${}a\in {\mathbb {K} }$ einer Abbildung ${}f:{\mathbb {K} }\rightarrow {\mathbb {K} }$.
6. Eine untere Treppenfunktion zu einer Funktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über rationale Zahlen in einem archimedisch angeordneten Körper ${}K$.
2. Das Weierstraß-Kriterium für Funktionenfolgen.
3. Der Satz über die Ableitung in einem lokalen Extremum.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von ${}7$ und der andere ein Fassungsvermögen von ${}10$ Litern. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.

Aufgabe * (8 (1+1+1+2+3) Punkte)

Es sei

${}P={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y=x^{2}\right\}}\,$

die Standardparabel und ${}K$ der Kreis mit dem Mittelpunkt ${}(0,1)$ und dem Radius ${}1$.

1. Skizziere ${}P$ und ${}K$.
2. Erstelle eine Gleichung für ${}K$.
3. Bestimme die Schnittpunkte

   $P\cap K.$

4. Beschreibe die untere Kreisbogenhälfte als Graph einer Funktion von ${}[-1,1]$ nach ${}\mathbb {R}$.
5. Bestimme, wie die Parabel relativ zum unteren Kreisbogen verläuft.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}c\in K_{+}$ ein Element in einem angeordneten Körper ${}K$ und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {c}}$ mit dem Startwert ${}x_{0}\in K_{+}$. Es sei ${}u\in K_{+}$, ${}d=c\cdot u^{2}$, ${}y_{0}=ux_{0}$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {d}}$ mit dem Startwert ${}y_{0}$. Zeige

${}y_{n}=ux_{n}\,$

für alle ${}n\in \mathbb {N}$.

Aufgabe * (10 Punkte)

Beweise den Satz, dass jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge ${}M$ der reellen Zahlen ein Supremum besitzt.

Aufgabe * (5 (1+1+1+1+1) Punkte)

Beweise die folgenden Aussagen zu Real- und Imaginärteil von komplexen Zahlen.

1. Es ist ${}z=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}+\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}{\mathrm {i} }$.
2. Es ist ${}\operatorname {Re} \,{\left(z+w\right)}=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}+\operatorname {Re} \,{\left(w\right)}$.
3. Es ist ${}\operatorname {Im} \,{\left(z+w\right)}=\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}+\operatorname {Im} \,{\left(w\right)}$.
4. Für ${}r\in \mathbb {R}$ ist

   $\operatorname {Re} \,{\left(rz\right)}=r\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}{\text{ und }}\operatorname {Im} \,{\left(rz\right)}=r\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}.$

5. Es ist ${}z=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}$ genau dann, wenn ${}z\in \mathbb {R}$ ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn ${}\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}=0$ ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}P=X^{n}\in K[X]$ mit ${}n\geq 1$. Zeige, dass sämtliche normierten Teiler von ${}P$ die Form ${}X^{k}$, ${}1\leq k\leq n$, besitzen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Setze in das Polynom ${}-5X^{3}-X^{2}+{\sqrt {2}}X+{\sqrt {5}}$ die Zahl ${}{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$ ein.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Stetigkeit der Umkehrfunktion zu einer streng wachsenden, stetigen Funktion ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$, zu einem Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Vierfache ihrer zweiten Potenz, gleich der Quadratwurzel von ${}42$ ist?

Aufgabe * (4 Punkte)

Ordne die Zahlen

$\exp \left(0,6\right),\,\exp \left(0,7\right){\text{ und }}2$

gemäß ihrer Größe.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{+}$ eine differenzierbare Funktion. Bestimme die Ableitung der Funktion

${}g(x):={\frac {f(f(x))}{f(x)}}\,.$

Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$[1,2]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t)={\frac {1}{t}}.$

1. Beschreibe den Flächeninhalt zur unteren maximalen Treppenfunktion zu ${}g$ zur Intervallunterteilung ${}1\leq x\leq 2$ in Abhängigkeit von ${}x$.
2. Bestimme dasjenige ${}x$ zwischen ${}1$ und ${}2$, für das der Flächeninhalt zur unteren maximalen Treppenfunktion zu ${}g$ zur Intervallunterteilung ${}1\leq x\leq 2$ maximal wird. Welchen Wert hat dieser Flächeninhalt?

Aufgabe * (5 Punkte)

Eine Kettenlinie (eine durchhängende Kette) wird durch die gewöhnliche Differentialgleichung

${}y''=c{\sqrt {1+y'^{2}}}\,$

beschrieben (${}c>2$). Finde die Lösung, wenn ${}y(-1)=y(1)=0$ ist.