Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 19/latex

\setcounter{section}{19}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die Funktion \maabbdisp {f} {\R} {\R } {,} die durch
\mathdisp {f(x) = \begin{cases} x- \lfloor x \rfloor , \text{ falls } \lfloor x \rfloor \text{ gerade}, \\ \lfloor x \rfloor -x + 1, \text{ falls } \lfloor x \rfloor \text{ ungerade}, \end{cases}} { }
definiert ist. Untersuche $f$ in Hinblick auf \definitionsverweis {Stetigkeit}{}{,} \definitionsverweis {Differenzierbarkeit}{}{} und \definitionsverweis {Extrema}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {lokalen}{}{} und die \definitionsverweis {globalen Extrema}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {[-2,5]} {\R } {x} { f ( x ) = 2x^3-5x^2+4x-1 } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = 4x^3+3x^2-x+2 } {.} Finde die Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ [-3,3] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass die Steigung der Funktion in $a$ gleich der Durchschnittssteigung zwischen \mathkor {} {-3} {und} {3} {} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \maabbdisp {f,g} {\R} {\R } {} zwei \definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{.} Es sei $a \in \R$. Es gelte
\mathdisp {f(a) \geq g(a) \text{ und } f'(x) \geq g'(x) \text { für alle } x \geq a} { . }
Zeige, dass
\mathdisp {f(x) \geq g(x) \text { für alle } x \geq a \text{ gilt}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {reelle Polynomfunktion}{}{} \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $d \geq 1$ maximal
\mathl{d-1}{} \definitionsverweis {lokale Extrema}{}{} besitzt, und die reellen Zahlen sich in maximal $d$ Intervalle unterteilen lassen, auf denen abwechselnd $f$ \definitionsverweis {streng wachsend}{}{} oder \definitionsverweis {streng fallend}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Führe die Details im Beweis zu Satz 19.7 aus.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die lokalen und globalen Extrema der Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {t} {f(t) = t^2e^{-t} } {.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R_+} {\R } {x} {f(x) = 1 + \ln x - \frac{1}{x} } {.}

a) Zeige, dass $f$ eine stetige Bijektion zwischen \mathkor {} {\R_+} {und} {\R} {} definiert.

b) Bestimme das Urbild $u$ von $0$ unter $f$ sowie $f'(u)$ und $(f^{-1})'(0)$. Fertige eine grobe Skizze für die Umkehrfunktion $f^{-1}$ an.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Betrachte die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = (2x+3)e^{-x^2} } {.} Bestimme die \definitionsverweis {Nullstellen}{}{} und die lokalen (globalen) \definitionsverweis {Extrema}{}{} von $f$. Fertige eine grobe Skizze für den Funktionsverlauf an.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} {x^3+x-1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

a) Zeige, dass die Funktion $f$ im reellen Intervall $[0,1]$ genau eine Nullstelle besitzt.

b) Berechne die erste Nachkommastelle im Zehnersystem dieser Nullstelle.

c) Man gebe eine rationale Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q }
{ \in }{[0,1] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart an, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { f(q) } }
{ \leq }{ { \frac{ 1 }{ 10 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Intervall}{}{} und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D(I,\R) }
{ =} { { \left\{ f:I \rightarrow \R \mid f \text{ differenzierbar} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Menge der \definitionsverweis {differenzierbaren Funktionen}{}{.} Zeige, dass $D(I,\R)$ ein \definitionsverweis {reeller}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} ist und dass die Ableitung \maabbeledisp {} {D(I,\R)} { \operatorname{Abb} \, { \left( I , \R \right) } } {f} {f' } {,} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} ist. Bestimme den \definitionsverweis {Kern}{}{} dieser Abbildung und seine \definitionsverweis {Dimension}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 2 } \, \frac{ 3x^2-5x-2}{x^3-4x^2+x+6}} { }
mittels \definitionsverweis {Polynomdivision}{}{} \zusatzklammer {vergleiche Beispiel 19.9} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} der \definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{}
\mathdisp {\frac{ x^3-2x^2+x+4}{ x^2+x }} { }
im Punkt $-1$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme den Grenzwert von
\mathdisp {\frac{x^2-3x+2}{x^3-2x+1}} { }
im Punkt $1$, und zwar

a) mittels Polynomdivision,

b) mittels der Regel von l'Hospital.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Diskutiere den Funktionsverlauf der \definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {D} {\R } {x} {f(x) = \frac{ 2x-3 }{ 5x^2-3x+4 } } {,} hinsichtlich \definitionsverweis {Definitionsbereich}{}{,} \definitionsverweis {Nullstellen}{}{,} \definitionsverweis {Wachstumsverhalten}{}{,} \zusatzklammer {\definitionsverweis {lokale}{}{}} {} {} \definitionsverweis {Extrema}{}{.} Skizziere den \definitionsverweis {Funktionsgraphen}{}{.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme die \definitionsverweis {lokalen}{}{} und die \definitionsverweis {globalen Extrema}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {[-4,4]} {\R } {x} { f ( x ) = 3x^3-7x^2+6x-3 } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Diskutiere den Funktionsverlauf der \definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {D} {\R } {x} {f(x) = \frac{ 3x^2-2x+1 }{ x-4 } } {,} hinsichtlich \definitionsverweis {Definitionsbereich}{}{,} \definitionsverweis {Nullstellen}{}{,} \definitionsverweis {Wachstumsverhalten}{}{,} \zusatzklammer {\definitionsverweis {lokale}{}{}} {} {} \definitionsverweis {Extrema}{}{.} Skizziere den \definitionsverweis {Funktionsgraphen}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei \maabb {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {Polynomfunktion}{}{} vom Grad $d \geq 1$. Es sei $m$ die Anzahl der \definitionsverweis {lokalen Maxima}{}{} von $f$ und $n$ die Anzahl der \definitionsverweis {lokalen Minima}{}{} von $f$. Zeige, dass bei $d$ ungerade $m= n$ und bei $d$ gerade $\betrag { m-n }=1$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Zeige, dass eine nichtkonstante \definitionsverweis {rationale Funktion}{}{} der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ =} { { \frac{ ax+b }{ cx+d } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{}

\zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ a,b,c,d }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ c }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {,} keine \definitionsverweis {lokalen Extrema}{}{} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} der \definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{}
\mathdisp {\frac{ x^4+2x^3-3x^2+5x-5}{ 2x^3-x^2-4x+3 }} { }
im Punkt $1$.

}
{} {}